Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系
张君贤 指导教师：王汝军
(河西学院数学与应用数学专业2010届4班43号, 甘肃张掖 734000)
摘 要 积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系，都曾在数学的发展史上发挥过巨大的作用.本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系.
关键词 黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系 中图分类号 O174.1
Connection and Dinstinction between Riemann Integral and
Lebesgue Integral
Zhang Junxian Instructor: Wang Rujun
(N.O.43,Class 4 of 2006.Specialty of mathematics and Applied mathematics,Department of Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000,China )
Abstract;Integration is the analysis of mathematics of the most basic concepts, Riemann integral and Lebesgue integral are two very important Integration, both the dinstinction between them and connection, Then have mathematics on the development of a large.The paper Mainly through the definition of Riemann integral and Lebesgue integral analysis and comparison, have summarized the dinstinction and connection between the two.
Key Words :Riemann integral;Lebesgue integral; connection;dinstinction.
1 引言
积分是整个分析数学中最基本的概念，现有的积分有两种形式：一种是作为近代数学核心的黎曼积分(下文简称R积分)，一种是作为现代实变函数论核心的勒贝格积分（下文简称L积分），这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别.仅从函数的范围来看，L积分要比R积分广泛的多.随着微积分学的发展，人们在利用R积分时，逐渐感觉到它有很大的局限性，主要表现在以下两个方面： （1）R积分与极限可交换的条件太严.
我们知道一列黎曼可积函数（即使有界）不一定保持R可积性.因此在积分与极限交换问题上，R积分的局限性就特别突出，大家知道，为了使
1
?balimfn(x)dx?limnn?bafn(x)dx
对一列收敛的R可积函数?fn? 能成立，当然要求limfn(x)是R可积的.对?fn?
n加上一致收敛的条件可以保证极限函数R可积，同时也保证了上面等式的成立，可是这一充分条件不但非常苛刻而且检验起来也不方便.由于积分与极限交换问题不能顺利解决，就大大降低了R积分的效果.
（2）积分运算不完全是微分运算的逆运算 我们知道任一R可积函数f(x) 的活动上限积分F(x)??xaf(t)dt在f(x)的
所有连续点都有F'(x)?f(x)，换言之，就是积分后再微分可以还原（f(x)的不连续点既成零集，可不计）.
但是另一方面有例子说明，一个可微函数F(x)的导函数f(x)即使有界也不一定R可积（Volterra的例），因此也就说不上有N?L.公式
F(x)?F(a)??xaf(t)dt
所以在R积分的范围内，积分运算只是部分地成为微分运算之逆.
然而L积分在很大程度上摆脱了上述R积分的困境，大大扩充了可积函数的范围，下面就从这两种积分的定义出发，探讨他们的区别与联系.
2 积分的定义
2.1 R积分的定义[2] :
设f(x)是定义在?a,b?上的有界函数，任取一分点组T
a?x0?x1?x2???xn?b
将区间?a,b?分成n部分，在每个小区间??xi?1,xi??上任取一点ζi,i?1,2,3,….作和
nS??i?1f(ζi)(xi?xi?1)
令r?max(xi?xi?1)，如果对任意的分发与ζi的任意取法，当r?0时，S趋
1?i?n于有限的极限，则称它为f(x)在?a,b?上的黎曼积分，记为
I?R?f(x)dx
ab2.2 勒贝格积分的定义[3]:
设E是一个勒贝格可测集，m(E)??，f(x)是定义在E上的勒贝格可测函
2
数，又设f(x)是有界的，就是说是否存在l及μ，使得f(E)?(l,μ)，在?l,μ?中任取一分点组D
l?l0?l1???ln?μ
记
?(D)?max(lk?lk?1)
1?k?nEk?E(lk?1?f(x)?lk)
并任取ζi?Ek（我们约定，当Ek??时，f(ζi)m(Ek)?0），作和
nS(D)??k?1f(ζi)m(Ek)
如果对任意的分法与ζi的任意取法，当?(D)?0时，S(D)趋于有限的极限，则称它为f(x)在E上关于勒贝格测度的积分，记作
J??Ef(x)dx
从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的.前者的优点是?i??但当分法的细度T充分小时，函数f(x)在?i上?xi?1,xi??的度量容易给出，的振幅?i?supf(x)?inf(x)仍可能较大；后者的优点是函数f(x)在Ek上的振幅
x??ix??i?k?supf(x)?inf(x)??(D)较小，但Ek一般不再是区间，而是可测集.其度量
x?Ekx?Ekm(Ek)的值一般不易给出.对定义域与对值域的分割是R积分与L积分的本质区
别，对值域进行分割求积分的方法使E中的点分成几大类，更简单明了.另外，L积分理论是在测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于?a,b?上.然而就是这一点点的差别，使这两种积分产生了本质的区别,使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质.这在下面的讨论中可以很清楚的看到.
3 主要的区别与联系
3.1可积函数的连续性 连续函数是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是勒贝格可测函数，那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件：
3
函数f(x)在?a,b?上黎曼可积的充要条件是f(x)在?a,b?上一切间断点构成一个零测度集.
这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的.例如黎曼函数
?1/q,当x?p/q(q?0,q,p为互质的整数） f(x)???0，当x为无理数这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.虽然在?0,1?中有无穷多个有理点，即黎曼函数在?0,1?上的不连续点有无穷多个，但这个函数在?0,1?上仍是黎曼可积的，且有
?10f(x)dx?0
事实上，?0,1?中的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数f(x)是黎曼可积的.
现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质呢？
设f(x)是可测集E?R(m(E)??)上的连续函数，则f(x)在E上勒贝格可积的充要条件是f(x)在E上勒贝格可测.
有限区间上的连续函数是可测函数，对于几乎处处连续的函数，它显然几乎处处等于一个连续函数，而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测，所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数.从这里我们也可以看出黎曼可积函数必是勒贝格可积函数.那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性区别在哪里？我们有下面的鲁津定理：
设f(x)是可测集E上几乎处处有限的可测函数，则对任意的??0,存在闭子集E??E，使f(x)在E?是连续函数，且
m(E\\E?)??
从这个定理可以看出，在可测集E上几乎处处有限的可测函数是基本上连续的，或称为是近于连续的，因此勒贝格可积函数是近于连续的，对应于黎曼可积函数的情形，有
m(E\\E?)?0
3.2积分的可加性
这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性.黎曼积分具有有限可加性，
n[4]
即若E??Ei，E,Ei(i?1,2,...,n)均为有限区间，Ei?Ej??（i?j）则有
i?1 4
n?Ef(x)dx???1Eif(x)dx
但是黎曼积分不具有可数可加性，这个很容易得到验证，这里从略.
对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷，我们有下面的定理：
?定理 若E??Ei，Ei?Ej??（i?j），E，Ei（i=1,2，.....）均为可测集，
i且m(E)??，f(x)是E上的勒贝格有界可积函数，则有
??Ef(x)dx???1Eif(x)dx
对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解.我们知道，黎曼积分建立在约当测度之上，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，而约当测度只具有有限可加性，勒贝格测度具有可数可加性.
3.3积分极限定理[4]
关于黎曼积分积分与极限交换的问题，很多文献都有详细的叙述，这里不再多说，由于积分与极限交换的问题不能顺利解决，就大大降低了黎曼积分的效果. 在勒贝格积分范围类对于这个问题得到比在黎曼积分范围类完满的解决，这正是勒贝格积分的最大成功之处.对于勒贝格积分，有如下：勒贝格控制收敛定理：设
（1）?fn(x)?是可测集E上的可测函数列；
（2）fn(x)?F(x)几乎处处于E，n=1,2，...，且F(x)在E上可积； （3）Fn(x)?f(x)几乎处处于E； 则f(x)在E上可积，且
limn?Efn(x)dx??Elimf(x)dx
n设m(E)??，将条件（2）改为fn(x)?M（n=1,2，...），则定理结论仍成立，这也叫做勒贝格积分的有界收敛定理.与黎曼积分的有界收敛定理相比，显然条件宽松的多，且不需要假设极限函数的可积性，从而使我们又一次看到勒贝格积分的优越性.
3.4牛顿——莱布尼茨公式[5]
设f(x)在?a,b?上可微，则有
??a,x?f(x)dx?f(x)?f(a),x??a,b?
'即在上述条件下，积分运算是微分运算的逆运算，显然，在微积分基本定理中，
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