子群乘积集阶的算法
一、阶的定义
1、设G使一个群。由于G对乘法满足结合律，因此由第一章可知，在G中任意取定n个元素a1,a2,a3,?,an 后，不管怎样加括号，其结果都是相等的，所以
a1,a2,a3,?,an
总有意义，它是G中一个确定的元素。
下面我们对群中元素引入指数的概念。
任取a∈G，n是一个正整数，规定
a =e，a =a1,a2,a3,?,an a =(a ) =a1,a2,a3,?,an .
由此不难推出通常熟知的指数运算规则在群中也成立：
a a =a , (a ) =a ,
其中m,n为任意整数。
定义1 设a为群G 的一个元素，使 a =e
的最小正整数n，叫做元素a的阶。
如果这样的n不存在，则称a 的阶为无限。
元素a的阶常用A表示。
二、陪集的定义
定义 1 设H是群G的一个子集，a∈G。则称G的子集
aH=｛ax︱x∈H｝
为群G关于子群H的一个左陪集.而称
Ha=｛ax︱x∈H｝
为群G关于群H的一个左陪集.
由此可知，不管是左陪集或右陪集，它们都是群的一种特殊的子集。也就是这种特殊的子集在群的讨论中占着很重要的地位。
例如，H=｛(1),(12)｝是三次对称群S 的一个子群，而
(13)H=｛(13),(123)｝,(23)H｛（23），（123）｝
是H的两个左陪集；又
H(13)=｛(13),(132)｝,H(23)=｛(23),(123)｝
是H的两个右陪集.
从这里还可以看出，左陪集aH与右陪集Ha一般并不相等.但是有时也可能相等，特别当G是交换群时一定相等.
下面只讨论左陪集，对右陪集可作类似的讨论.
左陪集有以下的重要性质.
1) a∈aH.
证 因为H是子群，e∈H,故
a=ae∈aH.
2) a∈H ? aH=H.
证 设aH=H.则由1)知，a∈aH,故a∈H.
反之，设a∈H.但因为H是子群，故aH ∈ H;
又任取x∈H.由于a∈H,故a x∈H,且
x=a(a x) ∈aH.
从而又有H ∈ aH.
因此 H=aH.
3) b∈aH ? aH=bH. 证 设b∈aH. 令b=ax(x∈H),则由2)有
bH=axH=aH.
反之，设aH=bH,故 b∈aH.
4) aH=bH,即a和b同在一个左陪集中
? a b∈H(或b a∈H).
证 设aH=bH，则
aaH= abH,H= abH
于是由2)知，ab∈H.
反之，若ab∈H，则依上倒推回去既得 aH=bH.
把3)与4)两条合起来，就是 b ∈aH,即a,b属于同一个左陪集
-1-1-1-1-1? aH=bH ? a-1b∈H (a,b∈H).
5) 若aH ∩ bH ≠ Φ ,则aH=bH.
证 设c ∈ aH ∩ bH ,则c∈aH,c∈bH.于是由3）知
aH∩bK≠.Φ
令c∈aH∩bK，则c∈aH,c∈bK,于是由陪集性质3)知：
aH=bH=cH.
这个性质表明，对任二左陪集来说，要么相等，要么无公共元素.
这样群G 中每个元素必属于一个左陪集，而且不能属于不同的左陪集.因此，G的全体不同
的左陪集构成群G的元素的一个分类，而且两个元素a与b同在一类当且仅当a b∈H.
群G的左陪集和右陪集有以下关系.
定理1 设H是群G的一个子群，又令
L=｛aH︱a∈G｝,R=｛Ha︱a∈G｝.
则在L与R之间存在一个映射，从而左、右陪集的个数或者都无限或者都有限且个数相等.
证 在L与R之间建立映射：
φ： aH→ Ha-1 .
如果aH=bH，则ab∈H，即a(b-1)∈H,从而由4)知，
-1
-1Ha=Hb
反之，若Ha=Hb，可同样推出aH=bH.即 为双方单值，从而为双射。
定义2 群G中关于子群H的互异的左(或右)陪集的个数，叫做H在G里的指数，
记为 (G:H).
定理2 设H，K是群H与K的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交.
证 设c(H∩K)为G关于H∩K的任一左陪集，则易知
c(H∩K)=cH∩cK.
故关于交H∩K的任一左陪集都是关于H与K的二左陪集的交.
反之，任取H与K的二左陪集aH与bK,且
aH=cH,bK=cK. 从而
aH∩bK=cH∩cK= c(H∩K).
-1-1
-1-1这样，关于交H∩K的所有左陪集就是关于H与K的陪集的所有非空的交.
从这个定理直接可知，当(G:H)与(G:K)都有限时，不仅(G:H∩K)有限，而且有
(G:H∩K)≦(G:H)(G:K).
于是有
推论1 设H,K是群G的两个子群，则当指数(G:H)与(G:K)都有限时，指数
(G:H∩K)也有限.
定理3 设H是有限群G的一个子群，则 ∣G∣=∣H∣(G:H).
从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数.
证 令(G:H)=s,且
G= a1H∪a2H∪……∪an H
是G关于H的左陪集分解.由于易知
φ:aih→ajh
是左陪集aih到ajh的一个双射，从而
∣aiH∣=∣ajH∣.
于是 ∣ a1H∣=……=∣a2H∣=∣anH∣.
因此由（1）知，∣G∣=∣H∣(G:H).
推论2 有限群中每个元素的阶都整除群的阶.
证 设a是有限群G的一个元素，则
H=｛e,a,……，an-1(?h∈H)
｝