湖北省襄阳市2017届高三数学第二次适应性考试（5月）试题 理
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1． 设集合U?{1,2,3,4}，A?{x?N|x2?5x?4?0}，则CUA等于（ ）
A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{3,4} 2． 设i是虚数单位，复数
a?i为纯虚数，则实数a的值为（ ） 1?iA． -1 B．1 C．-2 D．2
3． 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件
“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ）
A．对立事件 B． 互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．以上均不对 4． 设命题p:?x0?(0,??)，x0?1?3；命题q：?x?(2,??)，x2?2x，则下列命题x0为真的是（ ）
A．p?(?q) B．(?p)?q C．p?q D．(?p)?q 5． 已知等比数列?an?的各项都为正数, 且a3,a5,a4成等差数列,
则
12a3?a5的值是
a4?a63?55?13?55?1 B. C. D. 2222 A．6． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．10 B.15 C .18 D.20
x2y23
7． 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为。双曲线
ab2
22
x－y＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 82126164205
8． 执行如图所示的程序框图，若输入x?20，则输出的y的值为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2
135 D．? 42229． 若实数x,y满足：|x|?y?1，则x?y?2x的最小值为（ ）
A． 2 B．-1 C. ?A．
1122?1 B．? C. D．222210．将5名学生分到A、B、C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（ ）
A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 60种
- 1 -
11．已知函数
距离为?，且在
时取得最大值2，若的值为（ ）
，且
的图象的相邻两对称轴之间的
，则
1224 C． D．? 252512．已知f?x??ex,g?x??lnx，若f?t??g?s?，则s?t取得最小值时，f?t?所在的区
A．
B．?间是( )
A．(ln2,1) B．(,ln2) C．(,) D．(,) 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．在?ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A?60,b?4,S?ABC?23，则 a? .
14．在(1?x)?(1?2x)5的展开式中，x4的系数为 （用数字作答）.
15．己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3。BC=3，BD=3，∠CBD=90°，则球O的体积为_____.
16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一
种相互转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.下列有关说法中：
①对圆O:x?y?1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
2②函数f?x??sinx?1是圆O:x??y?1??1的一个太极函数；
212113e11e2?22ex?1③存在圆O，使得f?x??x是圆O的太极函数；
e?1④直线?m?1?x??2m?1?y?1?0所对应的函数一定是圆O:?x?2???y?1??R2?R?0?的太极函数；
所有正确说法的序号是 .
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知数列?an?的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an?223Sn?2成立．记4bn?log2an．
（1）求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）设cn?111?Tn?． ，数列?cn?的前n项和为Tn，求证：156bnbn?1
18．（12分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两
个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：
甲 乙
- 2 -
8 9 9 8 9 9 3 8 9 9 2 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0 （Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率； （Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，
请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．
19． （12分）如图1，已知在菱形ABCD中，?B?120，E为AB的中点，现将四边形
EBCD沿DE折起至EBHD，如图2. （1）求证：DE?面ABE；
（2）若二面角A?DE?H的大小为弦值.
?2?，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余3
x2y220．（12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F(6,0)，过点F作平行于y轴
ab的直线截椭圆C所得的弦长为2。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点(1,0)的直线l交椭圆C于P、Q两点，N点在直线x??1上，若?NPQ是等边三角形，求直线l的方程。
21．（12分）已知函数f(x)?xln(x?a),a?R.
（1）若（2）若
不存在极值点，求的取值范围； ，证明：f(x)?e?sinx?1.
x
请考生在22、23两题选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为??x?tcos?（?为参数），以
?y?tsin?- 3 -
坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
?2cos2??4?sin??4.
?（1）若??，求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程；
[选修4-5：不等式选讲]
23．（10分）已知f(x)?|x?1|?|x?2|.
4（2）若直线l与曲线C交于M,N两点，且MN?12，求直线l的斜率.
（1）若不等式f(x)?a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T； （2）设m,n?T，证明：3|m?n|?|mn?3|.
第二次适应性考试数学（理科）参考答案
BABAC BDDBD DB
23 160
17、（1）在an?3Sn?2中，令n?1得a1?8. 433因为对任意正整数n，都有an?Sn?2①成立，n?2时，an?1?Sn?1?2②，
443②?①得，an?an?1?an?1，所以an?1?4an，
4n?12n?1又a1?0，所以数列?an?是以a1?8为首项，4为公比的等比数列，即an?8?4?2，
所以bn?log222n?132?②④
3 ?2n?1.???...........6分
1111?(?)， (2n?1)(2n?3)22n?12n?311111n. ?)]?(?)?2n?12n?3232n?33(2n?3)（2）由题意及（1）知cn?23557所以T?1[(1?1)?(1?1)???(n由于T为单调增函数 ，则1n1故11 ???......12分 ?T1?Tn??Tn?15615618、解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，
2C21则P(A)?2?．???........2分
C1045（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则
当a?38时，X?38?4?152； 当a?39时，X?39?4?156； 当a?40时，X?40?4?160；
当a?41时，X?40?4?1?6?166；
- 4 -
当a?42时，X?40?4?2?6?172；
∴X的所有可能取值为：152,156,160,166,172， ∴X的分布列为 X 152 156 160 166 172 p 1 101 51 52 51 10???........6分 ∴EX?152?11121?156??160??166??172??162．???......1055510..7分
（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：
38?0.2?39?0.4?40?0.2?41?0.1?42?0.1?39.5， ∴甲厂家的日平均返利额为：70?39.5?2?149元，
由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（>149元），
∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．???............12分
19．证明：(1)∵四边形ABCD为菱形,且?B?1200，??ABD为正三角形，
∵E为AB的中点 ?DE?AE,DE?BE?DE?面ABE ???........4分 （2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.
??AEB??DE?面ABE，??AEB为二面角A-DE-H的一个平面角，
分
2????.......63?13?E0,0,0,A0,1,0,B0,?,,D3,0,0 ????设AE=1则????22????????????????33??????AB?0,?,H3,?1,3由DH?2EB得 ??,AH??3,?2,3? ?22????????33?z?0??y?2设平面ABH的法向量为n??x,y,z?，则?2???令y?3得n??1,3,3.而平面ADE的一个法向量为m??0,0,1? ???3x?2y?3z?0? ???n?m313313?设平面ABH与平面ADE所成锐二面角的大小为?,则cos??????. 1313n?m所以平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为313???............12分 132220、解：(Ⅰ) 设椭圆C的焦半距为c，则c=6，于是a-b=6． b2c2y2c2a2?c2b4222
由2?2?1，整理得y=b(1-2)=b×= 2，解得y=?，
aabaaa22b232
?2，即a2=2b4，∴ 2b4-b2-6=0，解得b2=2，或b2=-（舍去）∴ ，进而a=8， a2x2y2??1．???........4分 ∴ 椭圆C的标准方程为82(Ⅱ)设直线PQ：x?ty?1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
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