第八章空间解析几何与向量代数（复习题）
1、向量代数
理解向量的概念；掌握向量的运算（线性运算、点积、叉积），掌握两个向量夹角的求法及垂直、平行的条件；熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式。熟练掌握用坐标表达式进行向量运算。
???????一、1. 已知向量|a|?1,|b|?2，且a与b的夹角??，则|a?b|?（ D ）.
4
A、1； B、1?2； C、2； D、5.
?2??????2????解：|a?b|?(a?b)?(a?b)?|a|?|b|?2|a||b|cos?5.选（D）.
4????????二、1. 已知平行四边形的二边是向量a?2i?j?k,b?i?2j?3k，则此平行四边形的面积等于53.
??解：平行四边形的面积S?|a?b|?53
（06-07卷：二、5、设点A(1,3,1),B(1,1,1),C(2,3,1)，则AB?AC? . 解：AB?AC?(0,?2,0)?(1,0,0)?0.
08-09卷：二、8、设点A(2,3,?1),B(1,1,1),C(0,4,?3)，则AB?AC? .
???ijk???解：AB?AC??1?22?2i?6j?5k.）
?21?22、空间解析几何
（1）空间曲面与曲线：理解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面的方程及其图形。掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；知道空间曲线的参数方程和一般方程。
一、2. 方程z?(x2?y2)表示的曲面方程是（ C ） A、旋转锥面；
B、双曲抛物面； C、旋转抛物面； D、椭圆柱面.
123. 方程x2?y2?4x?8y?5?0在空间直角坐标系中表示( C )
A、园周； B、球面； C、园柱面； D、椭园.
（06-07卷：一、8（08-09卷：一、2）设空间曲面x2?y2?z与xoz平面相截，截线的方程为（ C ）
?y2?z?x2?z?x2?y2?0A、x?z； B、?； C、?； D、?.
?x?0?y?0?z?02（2）空间平面和直线：熟悉平面方程和直线方程及求法.
·1·
x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3的关系是( A ) ?2?73A、平行，但直线不在平面上； B、直线在平面上； C、垂直相交； D、相交但不垂直.
??解：s?n?(?2,?7,3)?(4,?2,?2)?0，又直线上的点(?3,?4,0)不在平面上，故选(A).
一、4. 直线
（（07-08卷：一、10及09-10卷：一、10、平面y?3z?0是（ ）. A、与ox轴垂直的平面； C、通过ox轴的平面；
B、与yoz平面平行的平面； D、不是前三种平面.）
解：A?0,D?0，为通过ox轴的平面，选(C).
?2x?3y?z?D?0二、2.（07-08卷：二、7及09-10卷：二、7、） 若直线?与x轴有交
2x?2y?2z?6?0?点，则D? -6 .
?2x?3y?z?D?0?2x?2y?2z?6?0?解：由?，得D??6.
y?0??z?0?三、1、已知两点A(?7,2?1)和B(3,4,10)，求一平面，使其通过点B，且垂直AB.
?解：取n?AB?{10,2,11}，所求平面为10(x?3)?2(y?4)?11(z?10)?0， 整理有10x?2y?11z?148?0.
2、过点M(1,?2,3)作平面，使它与两已知平面?1:x?y?z?3?0和?2:2x?y?z?1?0都垂直.
?i?j?k1????解：法一：取n?11?1?2i?3j?k，由点法式有2(x?1)?3(y?2)?(z?3)?0，
21整理得2x?3y?z?5?0.
?A?B?C?0法二：设所求平面为A(x?1)?B(y?2)?c(z?3)?0，则有?解得
?2A?B?C?0B??31AC??A，代入方程有2(x?1)?3(y?2)?(z?3)?0，即2x?3y?z?5?0. 22?x?2y?7?0垂直的平面方程.
3x?2z?1?0?3、求过点(1,2,0)与直线?·2·
???ijk??x?2y?7?0解法一：直线?的方向向量S?1?20?{4,2,6}，
3x?2z?1?0?30?2所求平面方程为2(x?1)?(y?2)?3(z?0)?0,2x?y?3z?4?0.
1?B?A??A?2B?0??2解法二：设所求平面法向量为n?{A,B,C}，则?， ???3A?2C?0?C?3A??2 n?{A,?1231A,?A}22{2,1,3}， A{，所求平面的法向量也可取为2,1,3} 所求平面方程为2(x?1)?y?2?3z?0,2x?y?3z?4?0. 4、求过直线??3x?2y?z?1?0且垂直于已知平面x?2y?3z?5?0的平面方程.
2x?3y?2z?2?0?解：设所求平面为(3x?2y?z?1)??(2x?3y?2z?2)?0，即
(3?2?)x?(2?3?)y?(?1?2?)z?2??1?0(?)，因所求平面与x?2y?3z?5?0垂直，故有1?(3?2?)?2(2?3?)?3(?1?2?)?0，解得???2，代入平面方程(?)得所求平面
x?8y?5z?5?0.
（06-07卷：求过平面x?5y?z?0和x?z?4?0的交线且与平面2x?y?5z?5?0垂直的平面方程.
解：设所求平面为(x?5y?z)??(x?z?4)?0，即(??1)x?5y?(1??)z?4??0(?)因所求平面与平面2x?y?5z?5?0垂直，故有2?(??1)?(?1)?5?5?(1??)?0，解得??入平面方程(?)得所求平面5x?15y?z?8?0.
08-09卷：四、2、已知平面?1:x?y?z?1?0，直线L:通过直线L，且垂直于平面?1，求平面?的方程.
??????解：所求平面法向量为n?n1?s?1?11??i?2j?3k，取点(0,1,?1)
12?1?i?j?kxy?1z?1??，如果平面? 12?12
，代3
所求平面为?x?2(y?1)?3(z?1)?0，整理有x?2y?3z?1?0.（也可将直线
L:xy?1z?1??化为一般式，然后用平面束方程方法求解） 12?1·3·
（07-08卷：四、1及09-10卷：四、1、一直线过点(?3,2,5)，且与两平面x?4z?3和
2x?y?5z?1的交线平行，求该直线方程.
??????解：所求直线方向向量为s?n1?n2?10?4??4i?3j?k，取点(?3,2,5)
2?1?5?i?j?k所求直线方程为
x?3y?2z?5??.） 431第一章、函数与极限（复习题（一），期中测验）
一、函数：函数的有界性，单调性，周期性和奇偶性. 二、极限：
（1）两个极限存在准则（夹挤准则，单调有界准则），会用两个重要极限
(limsinx1?1,lim(1?)x?e)求极限；
x?0x??xx（2） 无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较和等价无穷小的代换； 二、1、（07-08卷：二、1）当x?x0时，?(x),?(x),?(x)都是无穷小，且
?(x)?o(?(x)),?(x)～?(x)，则limx?x0?(x)??(x)= 1
?(x)解：limx?x0?(x)??(x)?(x)?(x)?(x)?lim?lim?lim?1?1. x?xx?xx?x?(x)?(x)?(x)?(x)0002. lim(n??n?23n3)=e n?1n?2lim(?1)?3nn?23nn??n?1)?e?e3. 解：lim(n??n?12（期中：二、2、（即08-09卷二、10、）lim(1?)kn?e?3,则k? .
n??nlim(1??1)?kn2kn3n??n?e2k?e?3，k??. 解：lim(1?)?en??2n24、limx[ln(x?1)?lnx]= ；
x???1解：limx[ln(x?1)?lnx]?lim[ln(1?)x]?lne?1??1.
x???x???x06-07卷二、4、limn[ln(n?1)?lnn]= -1 ；）
n??·4·
tan2xeax?1f()?6，则f(a)? 3 ； 3、设f(x)在x?a连续，且limx?0xxtan2xeax?1f()?2f(a)?6,解：limx?0xxf(a)?3.
（期中：二、1、（即08-09卷二、3）设f(x)在x?2连续，且
ln(1?bx)e2x?1f(2)?a , 则 limf()=
x?0xxln(1?bx)e2x?1f()?bf(2)?ab 解： limx?0xx06-07卷二、3、设f(x)在x?5连续，且
e5x?1f(5)?2 , 则 limf()= 2 ）
x?0x6、lim[x?1tanxtan(x?1)tan1?]=1? . xx?11（08-09卷：二、1、lim[x?2sin2sin(x?2)sinx1??(x?2)sin]=1?.
2x?2xx?22x= 。ilxnis07-08卷：二、4、lim（?mx?0x?0tanxx2sinx2?sinx三、1． lim2
x??2x?cosx.
1?0）） x1sinx21x?. 原式?limx??12解：2?2cosxx1?4、limx?0ln(1?sin2x)e?1x2.
?sin2x??1. 解： 原式?lim2x?0xsin2x?x2sin（09-10卷：二、4、limx??x2tan1x1x= .
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