课题： 一般数列求通项公式（1）
一、 明确目标、自主学习
掌握各种常用方法求有关数列通项公式 二、合作探究、问题解决
1.观察归纳法
观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法加以证明即可。
例1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式。
14916n2(1),,,,???; an?2 251017n?111111(2)1,?,,?,,???; an?(?1)n?1?n
3715312?1(3)21,203,2005,20007,???; an?2?10n?(2n?1) (4)0.2,0.22,0.222,0.2222,???; an?2(1?10?n) 9
2． 定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例2 等差数列?an?是递增数列，前n项和为sn，且aaa,,139数列?an?的通项公式.
2aaa?a 解：设数列?an?公差为d(d>0)，∵1,3,9成等比数列，3?a1a9
成等比数列，求s5?a52．
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后
再写出通项。
变式练习1： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q
2
≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)，且a1 = f(d－1)，a3 = f(d+1)，b1 = f(q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)，a 3 = f (d+1)= d ，
22
∴a3－a1=d－(d－2)=2d，
2
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q，
22
b3(q?2)22
b3 =f (q－1)=(q－2)，∴=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2， ?b1q22
∴bn=b·q
3.公式法
n－1
=4·(－2)
n－1
已知Sn求an，用公式 an???S1?Sn?Sn?1(n?1)(n?2)
例3.（1）数列?an?的前n项和Sn?(?1)n?1n，求an； an?(?1)n(1?2n) （2）数列?an?的前n项和Sn?3?2，求an。 an??n?5?2n?1(n?1)(n?2)
?S1[名师点评]：利用公式an???Sn?Sn?1但若能合写时一定要合并．
(n?1)(n?2)求解时，要注意对n分类讨论，
4．由递推公式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
4．1 类型1 递推公式为an?1?an?f(n) ，其中f(1)?f(2)?...?f(n)的和比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。
例4.（1）数列?an?中，已知a1?0,an?1?an?(2n?1)，求an。 an?(n?1)2
3n?1 （2）数列?an?中，已知 a1?1，an?1?an?3 ,求此数列的通项。 an?
2n
4．2 类型2 递推公式为an?1?anf?n?。 （1）把原递推公式转化为
an?1?f?n?，利用累乘法求解。 an例5. (1)已知数列?an?满足a1?1，ann?11求通项公式an。 an? ?(n?1)，
an?1nn(n?1) (2) 已知数列?an?满足an?1?2nan,且a1?1,求通项公式an。 an?22
（2）由an?1?f?n?an和a1确定的递推数列?an?的通项可如下求得： 由已知递推式有an?f?n?1?an?1，an?1?f?n?2?an?2，…，a2?f?1?a1 依次向前代入，得an?f?n?1?f?n?2?...f?2?f?1?a1，简记为
，这就是叠（迭）代法的基本模式。
例6. 在数列?an?中, a1=1,an?1?2an?2n, 求数列?an?的通项公式. 解：（迭代法）
a1?1, ann?1?2an?2
?an?2an?1?2n?1?2(2an?2n?2?2)?2n?1
?22an?2?1n?2?22?n2 ?????2n?1a?2n?2?2????2?2n??22n?? 11 ?n?2n?1
?数列?an?1n?的通项公式为an?n?2 (n?N*)
例7.已知数列?an?，a1?2，an?2an?1?1(n?2)，求an。 an?1n?2?1
n课题： 一般数列求通项公式（2）
一、 明确目标、自主学习
掌握各种常用方法求有关数列通项公式 二、合作探究、问题解决
4．3 类型3已知形如an?1?pan?q的递推公式
例8. 已知数列?an?满足a1=1，an?1?11an?1，求an。 an?2?()n?1 221.待定系数法（方法1）：形如an?1?pan?q可设an?1?x?p(an?x)，求出x，即构造出等比数列?an?x?.
2.构造法（方法2）：利用an?2?pan?1?q和an?1?pan?q两式相减，得到
即构造出?an?1?an?为等比数列，再结合累加或迭代法求出an。 an?2?an?1?p(an?1?an)，
4．4 类型4. 取倒数法: 形如:an?1?pan
qan?p例9.(1) 已知数列{an}中,a1=1,an+1=
22an,求数列的通项公式an。 an?
n?1an?2
变式训练：已知数列?an?满足a1=2，an?1?an?an?1?an，求an。 an?
[举一反三]：—题多解：
例10.已知数列?a?a?2a?2a?1(n?2)aa?2n?1?12
3?2nn，1，nn?1，求n。 n（待定系数法）：
（构造法）：
（迭代法）：
例11. 在数列?an?中, a1=1,an?1?2an?2n, 求数列?an?的通项公式。[解法1].(迭代法)
a1?1, an?1?2an?2n
?a?12n?2an?1?2n?2(2an?2?2n?)?2n?1
?22an?2?1n?2?22?n2 ?????2n?1an?2?2????2?2n??21?22n?? 1 ?n?2n?1