第五章：控制系统的稳定性分析
3.3.5 控制系统的稳定性分析
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稳定性的概念
线性系统稳定的充要条件 线性系统稳定的必要条件
代数判据（一般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨）
劳斯判据的应用（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中的参数
3.3.5.1 稳定性的概念 分析小球平衡点的稳定性
定义：若线性控制系统在初始扰动
的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐
渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统不稳定。
3.3.5.2线性系统稳定性的充要条件 设系统的微分方程模型为：
分析系统的稳定性是分析在扰动的作用下，当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能，亦系统在
作用下的性能，亦与系统的输入信号无关，只与
系统的内部结构有关。对上述微分方程描述的系统亦只与等式的左端有关，而与右端无关，亦：系统的稳定性是由下列齐次方程所决定：
其稳定性可转化为上述齐次方程的解c(t)若则
系统不稳定。分析齐次方程
则系统稳定，
的解的特征。
由微分方程解的知识，上述方程对应的特征多项式为：
设该方程有k个实根 （i＝1，2，?k）
r对复根 （i＝1，2，?r）
k＋2r＝n 且各根互异 （具有相同的根时分析方法相同，推导稍繁琐） 则上述齐次方程的一般解为：
其中为常数，
时
由式中的，否则
决定，分析可见：只有当
。
注：只能是小于零，等于或大于均不行。等于零的情况为临界稳定，属不稳定。 综:
线性系统稳定的充要条件（iff）是：
其特征方程式的所有根均为负实数或具有负的实部。 亦：特征方程的根均在根平面（复平面、s平面）的左半部。 亦：系统的极点位于根平面（复平面、s平面）的左半部。
从上面的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点，看其在s平面上的位置，勿需去计算齐次方程的解很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。
3.3.5.3 线性系统稳定的必要条件 设系统特征方程
（若
式中所有系数均为实数，并设
，对特征方程两端乘（－1）），可以证明上述特征方程中所
（
）是该特征方程所有根在s平面的左半平面
）特征根有可能在左半s平面，否则
（当系统复杂时
的计算可能
有系数均大于零（即的必要条件。也就是说，（证明： 设
）特征根中有在虚轴上或右半平面的。
有n个根 k个实根 （i＝1，2，?k）
r对复根k＋2r＝n
（i＝1，2，?r）
则
逐一展开看系数即可。
例：F(s)= a0(s-λ1)(s-λ2) λ1<0 =a0s2-a0(λ1+λ2)s+a0λ1λ
2
λ2<0
a1>1 a2>1 -(λ1+λ2)>0 λ1λ2>0 F(s)=a0(s-λ1)[（s-σ1）2+ω12]
=a0[s3-(2σ1+λ1)s2+(σ12+ω12+2λ1σ1)s-λ1(σ12+ω12)] =a0s3-a0(2σ1+λ1)s2+a0(σ12+ω12+2λ1σ1)s-a0λ1(σ12+ω12) a1>1 a2>1 a3>1 以此类推。
根据这条原则，在判断系统稳定时，可事先检查一下系统特征方程的系数是否均为正。
注意：此条件仅为必要条件，非充分条件 一定要均大于零，不能等于（缺项）或小于零。 3.5.4 代数判据 3.5.4.1 劳斯判据
劳斯判据是1877年Roth提出来的一种代数判据，只介绍方法不证明，证明涉及到高等代数的理论。 劳斯判据的三个步骤： ① 列写系统的特征方程式； ② 列写劳斯表；
③ 根据劳斯表判断系统的稳定性。 ⑴ 系统的特征方程
⑵ 劳斯表
a0 a2 a4 ??
a1 a3 a5 ??
b1 b2 b3 ??
? ? ?
c1 c2 c3 ??
表中
??
劳斯表中，可以证明：将某一行中所有元素同时乘以某一正数，不影响系统的稳定性的判断。
（这样处理往往可以简化计算） 3. 定性的判断
若劳斯表中第一列的各元素的符号均为正，则特征方程的所有根位于左半s平面，即系统稳定。