四、符号说明和名词解释
4.1符号说明
为了便于问题的求解，现将本文中出现的符号进行解释说明： 符号 符号说明 坠落时间 升力系数 空气阻力 空气阻力系数 黑匣子在水中的水平运行速度 纵向距离 欧拉常数 空气密度 黑匣子的面积 黑匣子在水中的竖直运行速度 t c f k vx y e ? s vy 4.2名词解释
1、类平抛运动：物体水平抛出后，在水平方向上作匀速直线运动（不计空气阻力）（与平抛运动一样），而在竖直方向上的运动，不仅受到重力作用，还受到竖直方向上的其他力的作用[5]；
2、正交分解：将一个分解为Fx和Fy两个相互垂直的分力的方法，叫做力的正交分解，它是力的合成的逆运算；
3、阻力系数：对于飞行器来说，阻力系数定义为物体（如飞机、导弹）所受到的阻力与气流动压和参考面积之比，是一个无量纲量。
五、模型建立与求解
经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的建立过程。
5.1问题一模型的建立与求解
对于问题一，飞机以高速飞行的过程中突然失去动力，本文可以将其视为它在做类平抛运动，对其在失去动力后进行受力分析，可得相应的动力学方程：
d2rm2??mg?f dt由于飞机是朝东北方向飞行，本文可视作飞机是在某一平面内做平抛运动，以此建立相应的直角坐标系，由于该过程比较复杂，本文将飞机的坠落轨迹分别进行水平方向和竖直方向上的正交分解，正交分解图见(附录I)，正交分解表达式如下：
3
水平方向上的受力情况：
d2x?dx?m2??k??dt?dt? d2yd2ym2?mg?k(2)?F升 dtdt2竖直方向上的受力情况：
由上式得
dvdvd2xk?dx?k?dx?k2 m2?????x?????x??vxdtm?dt?dxm?dt?dxm?，且vox?为飞机上升到最高点时在水平方向上的分量[6]，对上式设起始条件vx?vox22再积分得：
dvxvxkk??dx?ln??x ???mvoxm?vxvox0对上式进行积分得到飞机在水平方向上的速度：
?evx?vox?kxmvx对飞机在水平方向上的速度公式进行积分，得
kkk?x?xxdxmmk?em?em??vox?t?em?1?vox?t ?voxdtkkm从而得飞机失去动力后的水平位移：
m?k?t?x?ln?1?vox?
k?m?所以在竖直方向上的受力情况表达式为：
d2yd2ym2?mg?k(2)?F升dtdt
21dy2y?t22dt
理想流体作稳定流动时，流体通过同一流管中任何截面的体积流量皆相等。这就是理想流体的连续性原理。它表示流体在流动时，应遵守质量守恒定律，其数学表示为
Sv?cost （1）
其中，v 为流速， s 为流管的截面面积。由此方程我们可以得到这样一个结论：对于同一流管，截面积越小，流速越大；截面积越大，流速越小。
通过连续性原理和功能守恒原理推导出的伯努利方程揭示了液体流动过程中的能量变化规律。它表示理想流体作定常流动时，应遵守能量守恒定律，其数学表示为
其中，p为此处流体的压强，?为此处流体的密度，v为此处流体的流速，h为此处距基准面的高度，g为重力加速度。由此方程可以得到一个结论：同一流管等高处两点，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。
4
1p??v2??gh?cost （2）
2
设机翼前方气流的速度为v0压强为p0，机翼上部气流流速为v1，压强为p1，机翼下部流速为v2，压强为p2，空气密度为?。由伯努利方程（2）式得：
（3）-（4），得到机翼上下的压力差为：
11p0??v02?p1??v12 （3）
2211p0??v02?p2??v22 （4）
221p2?p1??(v12?v22) （5）
2设机翼的面积为S，获得的升力为F,则有
1F?S(p2?p1)??S(v12?v22) （6）
2
另外，由连续性方程（1）式可以知道，分别在机翼的上下方各取一个小流管，则有
v0S0?v1S1 （7） v0S0'?v1S1 （8）
由（7）和（8）式可以发现v1?v0，v2?v0，并且联系（6）式可得出F升?v12?v22，加以综合可以得到F?V02，不妨假设这个系数为k，则得到在（6）式得基础上得出的新方程
1F升??Skv02 （9）
2
经过查阅资料（王家楣《流体力学》第十二章 机翼理论）可得到关于升力系数的相关介绍，其定义为
cL?2F?Sv02 （10） 比较（9）和（10）两个式子很容易发现，cL即为所推导的系数k，也证实了推导的过程。
2根据在水平方向上的求得的vx，代入竖直方向的受力表达式，并且每隔0.01s进行
dydx模拟计算可以得出相应的y，，x，。
dtdt假设飞机为波音777F，查表可知空气密度为??1.0kg/m3，机翼面积S?200m2，
1升力系数C?1.2，满载重量m?3.45*105kg，则令k2??SC?120kg/m
2当t?0时，则在竖直方向上的速度为0，即竖直方向上的空气阻力为0，在竖直方向只有重力和升力。此时
F升?120?222.222?5.925?106N?mg
所以当飞机失去动力时，先向上飞一段时间，然后才向下坠落[7],把以上数据分别代入竖直和水平方向上的速度和位移方程，即可得到如下：
水平方向速度
vx
?2.93x5?222.2?e3.45?10
5
水平方向位移
?3.45?1052.93?222.2t?x??ln?1?2.933.45?105???
竖直方向速度
3.45?105竖直方向位移
vy2?3.45?105?9.82?2.93?v2?120vyxt
1d2y2y?t 22dt则飞机的坠落轨迹为：
2??????2222.2?6.9?105y?3.45?105?9.82t2?2.93?4y2t2?120??t?2.93?222.2t??1?? ??5?3.45?10?????3.45?1052.93?222.2t?x??ln1???5?2.933.45?10????飞机的入水横向速度为96.71 ms，入水纵向速度506.8317 ms，横向距离28697，最终求得海水的速度为515.994ms。用Matlab画出相应的坠落轨迹，如下图：
2.5x 10421.510.5000.511.522.5x 105
图1 飞机的坠落轨迹图
由飞机的坠落轨迹可以清晰的看出，在水平方向上，由于空气阻力对飞机飞行产生影响，在竖直方向上飞机自身的重力、空气阻力以及升力对飞机飞行也产生影响，所以飞机在发生事故后，先向上飞一段时间，当它达到一定高度后才向下坠落。 5.2问题二模型的建立与求解
由于第二问中不需要考虑洋流，在水中仅考虑水的阻力，浮力和黑匣子自身的重力，得出其受力情况与飞机坠落过程相似，即动力学方程：
?d2rm2?mg?f dt
6
直角坐标系下的水平方向上正交分解式为：
d2xdxm2??k
dtdt
黑匣子在落入海水中后水平方向速度：
vx?v0?ktem
黑匣子在落入海水中后运动方程：
?tmv0x?(1?em)
kk在竖直方向上由于初速度很大，在起初的一段时间里，水的阻力也极大，等速度降到一定范围时[8],阻力又会明显减小。通过查表可知，当物体在水中速度超过100m/s时，阻力与速度的二次方成正比，当速度低于100m/s时，阻力与速度的一次方成正比。因此需要对竖直方向分别考虑：
直角坐标系下的竖直方向上正交分解式为：
d2y2m??mg?F浮?fy 2dt2其中重力和浮力都是定值，可先求得
F1??mg??Vg??20?9.82?103?0.1?0.2?0.5?9.82?98.2N
再对海水在竖直方向上受到的阻力进行分段计算
2?vy?100m/s?ksvyfy??
v?100m/sksv?yy?整理后可得在竖直方向上的受力情况为
?dvyF1k2vy?100m/s???svy??dtmm ?
dv?y??F1?ksvvy?100m/sy?mm?dt用Matlab进行时间间隔为0.001 s的模拟计算，可得黑匣子在海水中的坠落轨迹:
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