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第六讲 一次函数的应用培优竞赛辅导
一、知识点：一次函数与方程、不等式
1、任何一个二元一次方程可以看作一个________函数，任何一个一次函数都可以看作一个________方程；二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数的________。
2、不等式ax+b＞0（a≠0）的解集是直线y=________位于x轴________的图象所对应的自变量x的取值范围；不等式ax+b＜0（a≠0）的解集是直线y=__________位于x轴＿＿＿＿的图象所对应的自变量x的取值范围；一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解是直线y=_________与x轴的交点的________ 二、基础题型：
1、若一次函数y=3x-5与y=2x+7图象的交点P的坐标为（12，31），则方程组?2、一次函数y?1x?4和y＝－3x＋3的图象的交点坐标是________． 2?3x?y?5,的解为_______
?2x?y??73、直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则 m的取值范围是_______ 4、如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），则y＞0时，x的取值范围是______．
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 5、一次函数y＝kx＋b的图象如图，则当x______时，y＜4．
6、一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象如图所示，则当x______时，y1＜y2； 当x______时，y1＝y2；当x______时，y1＞y2．
7、如图所示，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量为（ ）
A．小于3吨 B．大于3吨 C．小于4吨 D．大于4吨
8、如上右图所示，OA，OB分别表示甲，?乙两名学生运动路程与时间的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间．根据图象可知，?快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
yA．2.5米 B．2米 C．1.5米 D．1米
l23l1
三、经典·考题·赏析
【例1】 一次函数与一元一次不等式、方程的关系
直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为( ) A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定
－1Ox 2 / 6
【变式题组】1、 如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，
则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．
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2、 直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式2x＞kx＋b＞－2的解集____．
【例2】一次函数性质的应用
已知x、y、z都为非负数，满足x＋y－z＝1，x＋2y＋3z＝4，记ω＝3x＋2y＋z．求ω的最大值与最小值．
【变式题组】
1、 (荆州竞赛试题)已知x满足不等式：
3x?175?2x，|x－3|－|x＋2|的最大值为p，最小值为?≥x?233q，则pq的值是( ) A．6 B．5 C．－5 D．－1
2、 已知非负数a、b、c满足条件：3a＋2b＋c＝4，2a＋b＋3c＝5．设S＝5a＋4b＋7c的最大值为m，最
小值为n，则n－m＝________． 【例3】一次函数在实际问题中的应用
题型一（营销策略）1、某企业生产的一种产品，每件的出厂价为1万元，其成本为0.55万元，平均每生产一件产品产生1吨废渣．为达到环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：方案一：由企业对废渣进行处理，每吨费用为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元．
方案二：将废渣送废渣处理厂，每吨废渣需付费0.1万元．
（1）设企业每月生产x件产品，月利润为y万元，分别求出上述两种方案中y与x之间的函数解析式． （2）如果你是企业负责人，你怎样选择处理方案，既达到环保要求又能获得较大利润？
2、A单位有10人和B单位x人组成一个旅游团去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买12张全票，则其余半价优惠；乙旅行社的收费标准是：旅游团购团体票，按原价的70%优惠，这两家旅行社的每张票原价是300元。
（1）分别写出旅游团到甲、乙旅行社购票的总费用y（元）与x的函数关系式。 （2）你认为选择哪家旅行社更优惠？
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题型二(工程问题）
1、一件工作，甲、乙两人合做5小时后，甲被调走，剩余的部分由乙继续完成，设这件工
作的全部工作量为1，工作量与工作时间之间的函数关系如图所示，那么甲、乙两人单独完成这件工作，下列说法正确的是( )
A、甲的效率高 B、乙的效率高C、两人的效率相等 D、两人的D、两人的效率不能确定
2、甲乙两个工程队分别从A，B两村同时相向开始修筑公路，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通，甲乙两个工程队修道路的长度y（米）与修筑时间x（天）之间的函数图象如图，则该公路的总长度为
题型三（方案设计问题） 1、（山东）某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元．且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
型号 成本（万元/台） 售价（万元/台） A 200 250 B 240 300 ⑴ 该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？ ⑵ ⑵该厂如何生产能获得最大利润？
⑶根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0 ) ，该厂应该如何生产可获得最大利润？（注：利润＝售价一成本）
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2、某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现在将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和每吨18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． ⑴请填写下表，并求两个蔬菜基地调运的运费相等时x的值；
A B 总计 C x吨 240吨 D 260吨 总计 200吨 300吨 500吨 ⑵设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0)，其余线路的运费不变，讨论总运费最小的调运方案．
题型四(行程问题）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
⑴ 求乙车所行路程y与时间x的函数关系式； (2)两车在途中第二次相遇时，他们距出发地的路程； ⑶ 求甲车所行路程y与时间x的函数关系式； （4）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？ (5) 乙车出发多长时间，两车在途中相距60千米？
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演练巩固·培优升级
1、 已知一次函数y＝x＋m，和y＝?x＋n的图象交点A(－2，0)，且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是( ) A．2 B．3 C．4 D．6
2、 已知关于x的不等式ax＋1＞0(a≠0)的解集是x＜1，则直线y＝ax＋1与x轴的交点是
( )A．(0，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(1，0)
y4321–5–4–3–2–1–1–2–3–4–5 yl1O12345x3212A-4Oxl2
第3题图 第6题图
3、 如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－4，0)，则y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＞－4 B．x＞0 C．x＜－4 D．x＜0 4、 直线kx－3y＝8，2x＋5y＝－4交点的纵坐标为0，则k的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2 5、 直线y＝kx＋b与坐标轴的两个交点分别为A(2，0)和B(0，－3)．则不等式kx＋b＋3≥0
的解集为( )A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2
6、 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象l1、l2，设y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋
b2，则方程组?
?y1＝k1x＋b1，的解是(
y＝kx＋b?222 )A．??x??2 y?2?B．??x??2 y?3?C．??x??3 y?3?D．??x??3 y?4?7、若x＋y＋z＝30，3x＋y－z＝50，x、y、z均为非负数，则M＝5x＋4y＋2z的取值范围是( )
A．100≤M≤110
B．110≤M≤120
C．120≤M≤130
D．130≤M≤140
8、若直线y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的交点，则a＝_________．
9、已知函数y＝－x＋m与y＝mx－4的图象交点在x轴的负半轴上，则m的值为__________． 10、若直线y??x?与直线y??x?12a23415的交点在第一象限，且a为整数，则a＝_________． 411、直线l1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l2与l1交于点(－2，a)，且与y轴的交点的纵
坐标为7．
⑴求直线l2、l1的解析式；
⑵求l2、l1与x轴围成的三角形的面积； ⑶x取何值时l1的函数值大于l2的函数值？
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12、（荆州）某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份的全部销售利润，已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8 台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（即人员工资和杂项开支）3.8万元．这三种器材的进价和售价如下右表，人员工资y1（万元）和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x成一次函数关系（如图）．
⑴求y1与x的函数解析式；
⑵求五月份该公司的总销售量；
⑶设五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出） ⑷请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值．
14、我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行使。边防局迅速派出快艇B追赶，图中L1，L2分别表示两船相对海岸的距离S（海里）与追赶时间t（分）之间的关系。根据图象解决下列问题：
（1）哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？A、B哪个速度快？
（2）试写出两船相对海岸的距离S（海里）与追赶时间t（分）之间的函数关系式。 （3）15分钟内B能否追上A？如果一直追上去，那么B经过多少时间能追上 A？
（4）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查。照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？ s（海里）
O 10 t(分)
7 5 L2 L1