13-1 点电荷?q位于圆心处，B、C、D位于同一圆周上的
三点，如图所示，若将一实验电荷q0从B点移到C、
D各点，电场力的功ABC = 0 ，ABD = 0 ． 原1题变
B ?q C D 题13-1图
13-2 一均匀带电量+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1 电势U由 QQ 变为 (设无穷远处为零电势点). 4π?0R4π?0r2原9题 13-3 α粒子的电荷为2e，金原子核的电荷为79e，一个动能为4.0MeV的α粒 子射向金原子核，若将金原子核视为均匀带电球体并且认为它保持不动． 则二者最接近时的距离 rmin? 5.69×10?14 m． (原12题) 解：最靠近时动能全部转化为电势能：Ek?W?qU?rmin?qQ 4??0rminqQ92e?79e92e?79e = 5.69×10?14(m) ?9?10?9?10664??0Ek4.0?10e4.0?10e13-4 两个同心球面，半径分别为R1、R2（R1 荷均匀分布在球面上，求两球面的电势及二者间的电势差．不管Q1大小如何，只要是正电荷，内球电势总高于外球；只要是负电荷，内球电势总低于外球．试说明其原因． (原11题) 解: U1?Q1?Q2Q2Q1Q?11?? ??， U2?, U12?U1?U2?1??4π?0?RR4π?0R24π?0R24π?0R12??1① 静电场的电力线始于正电荷 (或∞远处)，止于负电荷 (或∞远处) ② 电力线指向电势降落的方向. 13-5 场强大的地方，电势是否一定高？电势高的地方是否场强一定大？为什 么？试举例说明．(原6题) 答: 否 ! 电势的高低与零点的选择有关． + -Q + E = 0 + + 均匀带正电荷球面 负电荷附近 球内U最高，但E = 0 (最低) E (矢量)值大，但 U < 0 (低) 13-6 半径 R 的球形带电体，体电荷密度为??Ar2 (r?R)（A为常数），总 带电量为Q，求球内外各点的场强和电势分布． ?解：∵电荷分布球对称，∴E分布也球对称，作半径r的同心球面为高斯面S， ??则：?e??E?dS??E?cos??dS?E?dS?E?4π r2 SSS??qS内由高斯定理 ?e??E?dS?? S0⑴ 当r?Rr > R 时， qS内?Q r r R E → Q∴ E2?4π r2?? 0?? E2?Q? e2r4π?0rQ?QQ???e?dr?dr ?r4π?r2r4π?0r4π?0r20S U2??P??????E?dr??rE2?dr??r⑵当 r?R时，qS内??q∴ S内dq??V内? dV，而 dV?4π r2dr R r S E → rrqS内??0?4π r2dr??04π Ar4dr?4π Ar5 5?Ar354π Ar2? ∴ E1?4π r? E1?e5?05?0r?U1??P????Q?????RAr3R??r?dr??R?E?dr??rE1?dr??RE2?dr??ree?dr r5?04π?0r2QQ?AAr344?(R?r)?dr??Rdr 20?04π?0R5?04π?0r2??rR13-7 半径 R 的无限长圆柱形带电体，体电荷密度为??Ar3 (r?R)（A为常 数），求：⑴ 圆柱体内外各点的场强分布；⑵ 取对称轴为零电势位置求电势分布；⑶ 取圆柱表面为零电势位置求电势分布． ?R 解：∵电荷分布具∞长轴对称性，∴E分布也具∞长轴对称 S 性．作半径r高L的同轴封闭圆柱面为高斯面，则 r ??cos90?dS??SEcos0?dS?0?E?SdS?E?2π rL ?SE?dS??SE底侧侧L ??qS内由高斯定理 ?e??E?dS?? S0σ ⑴ 当 0?r?R（在圆柱体内）时， rrr2q1S内??0? L2π r dr??0Ar3L2π r dr?2πLA?0r4dr?π LAr5 5→E ?Ar442Ar5? ∴E12π rL? E1?π LAr E1?e5?05?05?0r 当r?R（在圆柱体外）时， RRS q2S内??0? L2π rdr??0Ar3L2π r dr?2π LAR5 5 横截面 ?55? ∴ E22π rL?2π LAR5 E2?AR E2?ARe5?0rr5?05?0r⑵ 取 U轴?0 当 0?r?R）时， U1??r04?5?0A r0E?dr??rE1?dr??rdr??Ar 5?025?0当r?R时， U2??r04??0A rRAR50RE?dr??RE1?dr??rE2?dr??Rdr??r?dr 5?05?0r??AR5AR5AR5r?(lnR?lnr)??(1?5ln) R25?05?025?0⑶ 取UR?0 当 0?r?R）时， ???U1rR4??RA rRE?dr??rE1?dr??rdr?A(R5?r5) 5?025?0当r?R时， 55R??RR???E?dr??E2?dr??AR?dr??ARlnr U2r5?rrr5?0R013-8 二极管的主要构件是一个半径为R1的圆柱状阴极和一个套在阴极外的半 径为R2的同轴圆筒状阳极．阳极与阴极间电势差为U?? ． ⑴ 求两级间距离轴线为r的一点处的电场强度． ⑵ 已知R1= 5.0×10?4 m，R2 = 4.5×10?3 m，U???= 300V，电子电量e = 1.6×10?19 C，电子质量m = 9.1×10?31 kg．设电子从阴极出发时的初速度很小，可以忽略不计．求该电子到达阳极时所具有的速率． 解： ⑴ 作半径r高L的同轴封闭圆柱形高斯面， ??q由高斯定理 ?e??SE?dS??S内 0?L E?2πrL??? 0由电势差的定义有 E??? 2πr?0??? E??e2πr?0r???????RR?RR?r?dl??R2??cos108??dr?V????R1E?dl??R1?eln2 22π?0R122πr?12πr?00 ????2π?0V?? lnR(2R1)? E??V??1? elnR(2R1)rr?代入得 E??V??1? 2π?0e2πr?0lnR(2R1)r⑵ 电场力做功等于电子动能的增量 m?22?eV?? ??2eV??m = …… = 1.05×10?7 (m/s) 13-9 四个电量均为4?10?9C的点电荷分别置于一正方形的四个顶点上，各点 距正方形中心O点均为5cm，则O点的场强大小EO = 0 V/m，电势 UO = 2.88×103 V．将实验电荷q0 = 10-10 C从无穷远处移至O点，电场力作功A = -2.88×10?7 J，电势能改变?W? 2.88×10?7 J． UO?4解：由对称性EO = 0； q?W?WO?W?=… =…；A?(U??UO)q0=…； 4π?0r13-10 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为 R1 = 10 cm 和、R2 = 20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为 300V，试求两球面的电荷面密度σ的值． 解:（叠加原理） 两球面单独存在时球心电势的叠加 R2U?U1?U2?q1q2? 4π?0r14π?0r2??R1?4πr12?4πr22??(r1?r2) ??4π?0r14π?0r2?0? ???0?r1?r2=…= 8.85×10?9(C/m2) 13-11 有两个点电荷带电量为nq和?q，(n > 1)，相距d，如图所示，试证明电 势为零的等势面为一球面，并求出球面半z 径及球心坐标（设无穷远处为电势零点）． 原2题 ?q nq ??解: y O 1nq?qU?U??U??(?r)??0 x 4π?0r??题13-11图 ?n1?∴?r?r??0, 即 nr??r? ① ????而 r??x2?y2?z2， r??x2?(y?d)2?z2 代入 ① 式，平方后整理得 ??n2?n?22?x??y?d?z?d??——球面方程 22??n?1n?1????n2nd，0) 球半径: R?2d， 球心: (0，2n?1n?122