浅谈数形结合思想在数学解题中的应用
学生姓名：之花127
一、引言
从古至今，数学渗透在我们生活的方方面面.原始时代,人们为了计数,也
会用图形表示一定的事物；随着时代的进步,科技的进步,数学的发展也逐步上升了一个层次,随即也就产生了各种各样的数学思想.而纵观整个数学体系我们可以发现数形结合思想是重要的一种数学工具和概念之一,它
贯穿我们整个数学学习当中,尤其以中学表现更为明显.所谓数形结合,简单来
说就是将数学中的数字与图形巧妙结合起来,既避免了单纯数字的枯燥与乏味,也可以从一些图形中反映出数字之间的关系,这样可以使一些数学问题变得清晰,简明,很容易被掌握,起到了事半功倍的作用.如今，数形结合的思想越来越受到老师同学们的重视,它可以解决中学中的函数、方程、集合、几何、数列、
概率等很多问题,使其变的让学生容易接受；同时它也渗透在大学的知识中,比
如说数学分析中求函数极值、在复变函数中表示复数等等。这些都充分体现
了数形结合思想发挥着不可估量的作用.
二、数形结合的基本知识
（一）数形结合思想的内涵 1.数形结合整体理解
当我们看到数形结合这个词语时，不免会将其分解：“数”、“形”与“结合”.对
于“数”和“形”这两个词,每个人都非常清楚,它是
数学中的两个最古老也是最基本的研究对象.“数”简单地来说是数字,但这里
我们可抽象地表示为函数、方程、不等式、数列等等.“形”则指的是各种图形,
而这种图形不是随便产生的,它是由所对应的“数”得到的.这自然也就引出了“结合”的涵义,即把相应的“数”与对应的“形”巧妙地
融为一体，形成一一对应的关系.“数”可以转化为“形”,“形”反过来可以解释
“数”.也就是数量关系与空间形式是紧密相连的.这也正
应证了我国著名的数学家华罗庚在自己撰写的
《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中说到的一句话 “数与
形,本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；
数形结合百 般好，隔离分家万事休；切莫忘,几何代数统一体,永远联系,莫分
离”[1].从华罗庚老师的这首小词中我们就可以形象生动地体会到数形结合的作用了.虽然人们广泛应用这一思想,但关于数形结合的定义,不同学术专家有着不同的解释,而对于学生来说,张同君先生解释的最好理解.他认为 ：“在问题解决中，数形结合就是将数量
关系的精确刻画和空间形式的形象直观密切结合，调用代数和几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的”[2].简而言之
数形结合思想就是把数学中 “数”和数学中“形”巧妙结合起来解决一些数学问题的一种数学思想。也可以说就是将抽
象、复杂、枯燥的数学语言与直观、简单、易懂的图形结合起来，通过“数”与
“形”
之间的对应和转换来解决数学问题.
2.数形结合的分类
直观来说,数形结合包括三个方面：以“形”辅“数”；以“数”释“形”；“数”“形”结合.
(1)以“形”辅“数”
由于我们在做题过程中,不免会遇到一些比较抽象,难以下手的问题,光用眼睛观察似乎看不出什么,但这时如果我们能把对应的关系用直观、明了的图形
表示,再通过对图形的分析、
推理最终解决我们所要解决的数量问题,这样就会简单很多.
(2)以“数”释“形”
虽然图形有形象、直观的优点,但在表示一定的定量关系时又显得不是那
么明显了.尤其是遇到一些比较复杂的图形时,更需要
观察图形的特点,借助代数的计算发
掘题目中的隐含条件,把“形”正确地表示成“数”的形式,最终达到解题的目的.
(3)“数”“形”结合
数学中非常重视转换的思想,而“数”“形”结合正是体现了这一点.当遇到问题时要先分析已知条件和所求结论,从两个方面同时出发,看 “数”想“形”,看“形”思
“数”结合起来,就可将问题简单化,各种问题也迎刃而解.
（二）数形结合思想的历史演进
“数”与“形”是数学研究最基本的两个方面.数的产生主要来源于古代的
计数,是对特定具体事物的计数.而在产生数之后,用来表示这些数的主要工具就是各种图形.所以说,“数”产生于各种各样“形”的计数,而“数”又借助“形”来记录表示,这可以说是数形结合思想最原始的表现.发展到宋朝时,数学家们采用把几何问题代数化
数化的思想方法,用
代数巧妙地描述了几何图形的特征,使几何关系转换成代数关系.在
17世纪,法国数学家笛卡尔通过建立坐标再一次将“数”与“形”结合在一起,创立了解析几何学,使问题变得直观、简洁.直到现在,数形结合思想仍运用于各个领域,就比如说在大学学习的高等代数和数学分析中,也离不开“数”与“形”的结合.例如：解决线性代数的问题就是
借助几何中的线性空间；在数学分析中求函数的极大、极小值时,直接观察函数
是很难算出来的,这时就要借助图像,在图像上就可以直观地看出在一个小范围内的最高点和最低点,这样就可以很容易地解决问题.从这些事例就可以看出,数形结合的思想从数的产生开始就被人们使用,从古到今一直被我们 广泛应用着,而且应用于我们生活的方方面面,可见数形结合思想的重要性.
（三）数形结合思想的优越性
1.简洁性 遇到一些繁琐的问题时如果可以将其转换成图形,那么就可以直观地观察出想要的结果,接着再转化成代数的符号便可以轻松解决问题.
2.突破性 在我们做方程求根的题目时,当
遇到次数较低的方程可以用公式求解,但遇到次数较高或者是指数形式的方程时,比如说求方程
3x?1?x2?2x?1的根的个数时,直接算是不可能的,也没有具体的计算公式,因此更数不出根的个数.在
这种情况下，我们可以突破传统解方程的思想,转换利用图形的观点来解决.
x2例 1 判断方程 3?1?x?2x?1的 . 根的个数
分析：因为题目中出现了指数形式3x,若要通过方程的思想直接求解来确定根的个数显然会变得非常复杂,甚至很难求出.对于此题,只要求求出根的个数,显然没必要得出根的具体值,所以我们可以突破方程的思想用图形来思考.即把等号两端的
两个式子看做两个函数,在一个坐标系中画出两个图像后,图像交点的横坐标即是
方程的根,那么图像上有几个交点便是有几个根.如图1可以看出,两个函数图像交于一个点,说明方程的根有一个.这样就x用数形结合的思想解决.y?3y 把一个复杂的方程求根的个数问题巧妙地?1
4 3 2 1 y?x???x??
1 2 3 4 x
-4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4
图1
三、数形结合思想在解题中的应用
（一）数形结合思想在代数中的应用
在代数中,数形结合思想在很多方面得到体现.比如说在解决一些复数、函数
、
数列、方程、不等式等问题时，
数形结合思想就起到了很重要的作用繁琐的问题瞬间直观化、简单化 .
,使很多抽象、
1.解决复数问题
我们已经了解到了复数的两重几何含义：一是每一个复数都对应平面上的
一个点；另一个是每一个复数都对应于平面上从原点出发的一个向量.从这些含
义我们可以清晰看出要理解一个复数,从解析几何的角度来看最为清晰,这一点也正 体现了数形结合的思想.
例 2 已知z∈C,z?1?1,求z?2的 . 最大值、最小值
分析：从代数的角度求其最大、最小值是不可能的,这时不防利用复数的几何含义来分析.由复数模的意义可以看出,z?1?1表示的图形是以
?1,0?点为圆心,1为半径的圆的边界及内部,而
z?2表示平面上满足上述条件的点与点??2,0?的距离.
我们由图2可以看出OA长度最短,为2；AB长度最长,为4.也就是得出z?2的
最大值为4,最小值为2.
y
1 A
B -2 -1 O 1 2 2 3 x
-1 图2
y 1 O -1 3 x A C B 图3 -3 例 3 已知z∈C,z?3?3i?1,求z?1?i的 . 取值范围
分析：由上一例题的启示，这道题仍然需要利用复数的几何意义来解决.