第九章 重积分
第一节 重积分的概念与性质
1.选择 设I1???(x?y)D2d?,I2???(x?y)D3d?,
（1）若D由x轴、y轴与直线x?y?1围成,则在D上B. A.(x?y)2?(x?y)3; B.(x?y)2?(x?y)3; 由二重积分的性质可知,A.
A.I1?I2; B.I1?I2; C.I1?I2; （2）若D由圆周(x?2)2?(y?1)2?2围成,则B. A.I1?I2; B.I1?I2; C.I1?I2; 2.填空 设I???Df(x,y)d?,
（1）若f(x,y)x?y??1,域D为0?x?1,0?y?2,则在D上,f(x,y)的最小值为
1,最大值为4;由二重积分的性质可知,2?I?8;
（2）若f(x,y)?x?4y?9,域D为x?y?4,则在D上,f(x,y)的最小值为9,最大值为25,因此36??I?100?.
3.设I1?I2?223(x?y)d?,其中D1是矩形闭区域：?1?x?1,?2?y?2; ??D1223(x?y)d?,其中D2是矩形闭区域：0?x?1,0?y?2,试利用二重积分的几何??D22222意义说明I1与I2之间的关系.
解 设函数f(x,y)?(x?y),则积分??f(x,y)d?的几何意义是在矩形域D1上以
D1223曲面z?f(x,y)为曲顶的曲顶柱体体积. 由于域D1关于x?0（即y轴）对称,而函数
f(x,y)是x的偶函数（即曲面z?f(x,y)关于yOz面对称）,因此
??f(x,y)d?=2??f(x,y)d? ,
D1D?34
其中域D?为0?x?1,y?2. 同理,D?关于y?0对称,f(x,y)是y的偶函数,因此, ??f(x,y)d?=2??f(x,y)d?
D?D2于是??f(x,y)d?=4??f(x,y)d?,即I1?4I2.
D1D2
第二节 二重积分的计算
1.填空
（1）改变积分次序 ?dx?1elnx0f(x,y)dy=?dy?014eyf(x,y)dx.
（2）改变积分次序 I=?dx?02x022f(x,y)dy+?8?y2222dx?8?x02f(x,y)dy
=?dy?022yf(x,y)dx. 若f(x,y)?xy,则I=
103.
dxdyylnx（3）设D：1?y?5,y?x?5,则应把二重积分I?次积分
I=?dx?15x1??D化为先对y后对x的二
1ylnx2dy=4.
π2sec?0 （4）二重积分?dx?023xxf(x?y)dy=?π3d??42f(r)rdr.
（5）二重积分
?10dx?xx(x?y)222?12πsin?cos?02dy=?d??40π401r?rdr
=?sin?cos?2d?=2?1.
2.画出积分区域,并计算下列二重积分.
22 （1）??(x?y)d?,其中D是闭区域0?y?sinx,0?x?π.
D 35
解 原式=?dx?0πsinx0(x?y)dy=?(xsinx?0π022π2sinx3133)dx
133π2 =?x2cosx?2xsinxπ0?2cosxπ0?[cosx?cosx]0=π?409.
（2）??y1?x2?y2dxdy,其中D是由直线y?x,x??1,y?1所围成的闭区域.
D 解 将D视为X?型区域,则D：x?y?1,?1?x?1. 原式=? =? （3）??eD1?x?1x?111?11dx?y1?x?ydy
x31?12221x12213?(1?x?y)dx=?23?10(x?1)dx=
312.
x?ydxdy,其中D是由不等式x?y?1,x?0所确定的闭区域.
e212e 解 原式=?dx?0ex?ydy=?e0x?yy??x?1y?x?1dx=?(e?e02x?1)dx=?.
易犯的错误是：认为积分区域D是关于x轴对称的,因此原积分等于在域D内第一象限 部分域上积分的2倍,即
原式=2??ex?yd? , D1=?D1?0?x?1,?0?y?1?x.
此解错在没有被积函数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算. （4）??Dcosxxcosxxd?,其中D是由曲线y?0,y?x和x?ππ6围成的闭区域.
解 ??Dd?=?260dx?2x0cosxxπdy=?60cosxdx=
12.
3.计算积分?dx?e?ydy的值.
0x2 解 由于函数e?y2的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域D为由
所围成的区域,故 x?0,y?2,y?x 原式=??eD?y2dxdy=?dy?e?ydx=?002y220ye?y2dy=?12e?y220=
12(1?e?4).
4.设D为以点(1,1),?为顶点的三角形,D1为D在第一象限部分,试将(1,1),?(1,?1)??(xy?cosxsiny)dxDdy化为D1上的积分.
?两部分,其中D1?为三角形AOB,D2?为三 解 如图9.1所示,将积分区域分为D1?与D236
角形BOC.
?关于x轴对称,又因为 显然D1?关于y轴对称,D2y 函数xy关于x,y均为奇函数,所以
??xydxdy=0, ??xydxdy=0.
D1??D2B D1? D1 A 故 ??xydxdy=??xydxdy+??xydxdy=0.
DD1??D2? D2O x
又函数cosxsiny关于x为偶函数,关于y为奇函 数, 所以
图 9.1
??cosxsinydxdy=2??cosxsinydxdy,??cosxsinydxdy=0.
D1?D1?D2综上所述,
??(xy?cosxsiny)dxdy=2??cosxsinydxdy.
DayaD15.证明：?dy?em(a?x)f(x)dx=?(a?x)em(a?x)f(x)dx.
000分析 因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,应从左端出发证明， 作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等. 但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于x先积分,故考虑改变积分次序.
解 ?dy?e00aym(a?x)f(x)dx=?e0am(a?x)f(x)dx?dy=?(a?x)exaam(a?x)0f(x)dx.
6.求下列空间域?的体积.
（1）由四个平面x?0,y?0,x?1,y?1所围成的柱体被平面z?0及2x?3y?z?6截得的立体.
解 曲顶柱体以D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}为底,以z?6?2x?3y为顶面,故所求立体体积 V???(6?2x?3y)dxdy=?dx?(6?2x?3y)dy=?(6?2x?D00011132)dx=6-1-
32=
72.
（2）由曲面z?x?2y及z?6?2x?y围成的立体. 解 两曲面的交线满足方程组
?z?x2?2y2 ? 22z?6?2x?y?2222消去z,得x?y?2.所求立体的体积
22 37
V???(zD2?z1)d?=??[(6?2x?y)?(x?2y)]d?
D2π020222222 =3??(2?x?y)d?=3?Dd??(2??)?d?
2 =6π?(??2?44)20=6π.
7.画出积分区域,并且把积分??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分,其中积分
D区域D是：
（1） 0?y?x2, 0?x?1;
解 积分区域如图9.2(a)所示,其边界曲线y?x2及x?1在极坐标下的方程分别为
??sin?cos?2及??π1cos?1cos?sin?.
原积分=?d??40f(?cos?,?sin?)?d?
cos?2
图 9.2（a）
易犯的错误是：积分区域如图9.2(b)所示.
π1cos?0图 9.2（b）
原积分=?4d??0f(?cos?,?sin?)?d?.
此错误是由作图不准确造成的. （2）由曲线y?a?x,y?22ax?x及
2y??x围成的闭区域（a?0）.
解 积分区域如图9.3所示,曲线 y?a?x及y?22ax?x 2在极坐标下的方程分别为r?a及r?acos?.
π图 9.3
原积分=?2d??0aacos?f(?cos?,?sin?)?d?
38