RC、RL及RLC串联电路幅频和相频特性的研究
【摘要】
本文主要研究RC，RL和RLC串联电路在不同频率的信号下的响应，在双踪示波器上同时观察电阻和电感（或电容）上输出电压幅度和相位差的变化，定量研究了RLC串联电路的幅频特性和相频特性。同时发现在实际的实验操作中，电阻，电容以及电感的参数的选择对本实验有很大的影响，掌握了幅频特性和相频特性的测量方法，使理论知识和实验内容有机的结合起来。
【关键词】串联电路；RLC电路；相频特性；幅频特性 1引言
RC、RL和RLC串联电路是大学物理实验的设计性实验之一，在交流电路中，幅频特性和相频特性是RC、RL和RLC串联电路的重要性质，并在电子电路中被广泛应用。本文对实验方法进行改进，采用幅频和相频特性的测量方法，观察各种参数变化，进一步了解各种参数对幅频特性和相频特性的影响。
2实验设计原理
在RC，RL ，RLC 串联电路中， 若加在电路两端的正弦交流信号保持不变，则当电路中的电流和电压变化达到稳定状态时，电流（或者某元件两端的电压）与频率之间的关系特性称为幅频特性；电压、电流之间的位相差与频率之间的关系特性称位相频特性。
2.1 RC串联电路
电路如图1所示。令ω表示电源的圆频率，U，I，UR,UC分别表示电源电压，电路中的电流，电
阻R上的电压和电容C上的有效值。?表示电路电流I和电源电压U间的相位差，则： RC总阻抗为：Z?R?j~1 （1） ?C2~~?1?2其中Z的模为：Z?|Z|?R???
?C??（2）
?1????arctan??C?R???????arctan1 （3）
?CR????为U和I之间的相位差，即 ???U??I （4）
根据交流欧姆定律，电阻上的电压为：UR?IR （5） 电容上的电压为：UC?总电压为：U?II （6） ?C2?1?R2??? （7） ?C??图2为上述电压、电流（有效值）的矢量图，注：此处角度取逆时针方向为正值。 从（7）式中解出I，然后分别代入（5）式、（6）式得： UR?U?1?1????CR??2 (8) UC?U1???CR?2 (9) 2.1.1幅频特性 当ω→0时，UR→0 ，UC→U ；当ω逐渐增大时，UR随着逐渐增大，UC随着逐渐减小；当ω→∞时，UR→U ，UC→0 。利用这样的幅频特性，可以将电源中的不同频率的信号分开，从而构成各种滤波器。幅频特性曲线如图3所示。 2.1.2相频特性 图3幅频特性曲线 由图2和式（3）可知，输出电压UR与输入电压U之间的相位差?R(= ??)与圆频率ω有关。当ω较小时，?R→??2；当ω很大时，?R→0。另外，?C与?R是互余角，?C????????2??，用相频特性可组成相移电路 ?2.2.RL串联电路 电路如图（4）所示。令ω表示电源的圆频率，U，I，UR,UL分别表示电源电压，电路中的电流，电阻R上的电压和电感L上的有效值。Φ表示电路电流I和电源电压U间的相位差，则： RL的总阻抗为：Z?R?j?L （10） 其模为：Z?|Z|?~图4
~2R2???L? （11）
其辐角为：??arctan?LR （12） UR?IR (13)
UL?I?L (14) U?IR2?(?L)2 (15)
U?R?1?????L?2同样，将（15）中的I带入（13）和（14）可得到： UR?U??L?1????R?2 （16） UL? （17） 由上面的公式可得以下RL串联电路的特性： 2.2.1幅频特性 图5 UR→U ，UL→0 ；UR当ω→0时，当ω逐渐增大时，随着逐渐减小，UL随着逐渐增大；当ω→∞时，UR→0 ，UL→U 。其曲线如图（5）所示。利用此幅频特性可组成滤波器。 图5 2.2.2相频特性 图6 图7 由式（12）和图7可知：?R= ??，当ω从0逐渐增大并趋近于∞时，相应的?R从0逐渐减小并趋近于?2.3 RLC串联电路 电路如图8所示，不同于RC和RL电路： ?。 2I?U1??R2???L???C??2 (18) 图8 UR?IR? (20) UR1??R2???L???C??U?L1??R2???L???C??22 (19) UC?U?CR2???L???1???C?2U?L (21) ?L?相位差??arctanR1?C （22） 由式（21）得出串联电路的相频特性结论如下： （1）谐振频率 当?L?1=0时，??0，并且UR=U为极大值。此时的频率f 记为谐振频率f0，?C电路的这一特殊状态称为谐振态，f0?（2） 当?L??01?。 2?2?LC1?0时，即ω?ω0，??0。电流的相位落后于?C图9 电源电压，整个电路呈电感性。随着ω的较小，?趋于?/2； 1（3）当?L??0时，即ω?ω0，??0。电流的相位超前于电 ?C源电压，整个电路呈电容性。随着ω的减小，?趋于??/2。 图9为RLC串联电路的幅频特性曲线：测量相位用双踪示波法比较方便。 3实验设计方案 3.1幅频特性测量 3.1.1 RC串联电路 连接仪器（要注意示波器的探测线，函数发生器的信号线与电路的连接，在测量时注意公共地点的选取）；函数发生器输出信号峰峰值电压U=1Vpp,调节函数发生器的频率在f=10K～100K之间，实验中R=1KΩ，C=4700Pf,取10个不同的频率点，用示波器分别测量电阻和电容的峰峰值电压UR和UC，将数据记录在表格中。 图10 RLC实验装置 3.1.2 RL串联电路 函数发生器输出信号峰峰值电压U=1Vpp,调节函数发生器的频率在f=100～3000之间，实验中R=40Ω，L=1mH,取10个不同的频率点，用示波器分别测量电阻和电感的峰峰值电压UR和UL，将数据记录在表格中。 3.2.3 RLC串联电路 函数发生器输出信号峰峰值电压U=1Vpp,调节函数发生器的频率在f=45K～100K之间，实验中R=1KΩ，L=1mH,C=4700pF,取10个不同的频率点，用示波器分别测量电阻,电感和电容的峰峰值电压UR，UL和UC，将数据记录在表格中。注：在圆频率附近可取5个点，便于画波形图。 3.2相频特性测量 在进行三个电路波形的测量时，将CH1和CH2的信号设为交流耦合，用光标线读出UR和UC或者UR和UL的时间差，若UC或UL超前UR，△t记为正值，否则△t取负值，再根据公式???t/T?360?可求出相位差。对于RLC串联电路，可同时观察UR和电信号电压的时间差从而求出相位?。将每次测量的时间差?t记录在表格中。 4实验数据处理及结果分析 4.1 RC幅频、相频特性曲线的研究 4.1.1实验数据记录表1 U?1.00Vpp R?1K? C?4700pF f(KHz) 10 0.260 20 0.440 25 0.520 28 0.540 33 0.580 35 0.620 40 0.640 50 0.680 70 0.740 90 0.760 UR(V) UC(V) T(μs) 0.940 0.820 0.780 0.740 0．680 0.620 0.560 0.540 0.440 0.360 100.0 50.0 40.0 35.7 30.3 28.6 25.0 20.0 14.3 11.1 △t(μs) -20.2 -8.1 -5.8 -4.8 -3.7 -3.3 -2.6 -1.7 -0.8 -0.4 ?(°) -73.55 -59.43 -53.56 -50.41 -45.74 -44.05 -40.26 -34.11 -25.82 -20.62 4.1.2 RC幅频、相频曲线 幅频特性10.80.60.40.2002040f(KHz)6080100 UC(V)UL(V) 相频特性0.00-10.00-20.00-30.00-40.00-50.00-60.00-70.00-80.00020406080100Φ（°）f(KHz) 4.1.3数据处理与分析 从上图相频特性曲线中可以看出：