几何中线段的最值问题
一、 一条线段的最值问题一 （1）借助旋转求最值 2013通州一模
24．已知：AD?2，BD?4，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB的大小.
D A B C
2011丰台一模
25.已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
C DC
ABC AB
BAD
D
图1 图2 图3
（2）借助直角三角形性质求最值
（1） 勾股定理
（2） 直角三角形斜边中线等于斜边一半
（3） 直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角
形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得．
【例1】 如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C
随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是
【例2】 如图，△ABC 是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A
在x轴上。
② 求出AC边上的高线BD的长度；
③ 当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值； ④ 已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。
2011海淀一模
12
25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF?kEF，则k = ； （2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．
求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，
求线段CF长度的最大值．
AAA
D EE D
F
F
CCCBBB
备图图1图2
2010海淀一模
25.已知：△AOB中，AB?OB?2，△COD中，CD?OC?3,∠ABO?∠DCO. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.
BMPOABMOPANDNCD C
图1 图2
O、C三点在同一直线上，(1) 如图1，若A、且∠ABO?60?，则△PMN的形状是________________，
此时
AD?________； BCADBC(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO?2?，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含?的式子表示）；
(3) 在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.
28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，
作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立
给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF
于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
（3）与圆相关
2014燕山
24.如图1，已知?ABC是等腰直角三角形，?BAC?90?,点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接 AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转?(0????360?)， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若BC?DE?4，当AE取最大值时，求AF的值．
2013昌平一模
24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
C1AAA1BA1图1CB图2CC1A1AEB图3P1C1PC
2015房山一模
28．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.
(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
(2) 若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△C'DE'，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.
①如图2，当α=30°时，连接BC'．证明：EF=BC'；
②如图3，点M为DC中点，点P为线段CE上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？
'' A
E'E'AAEFDαPEFC'DMCDBCBC'CB图1 图2 图3
?3. 如图25-1，已知△ABC是等腰直角三角形，?BAC?90，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点
A、C分别在DG和DE上，连接AE,BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，小于或等于360°），如图25-2，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC?DE?2，在25-2的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
B
D
C 图25-1
E
B
D 图25-2
C
A G F
G A E F
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