2013年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷
数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
A1．设全集U??1,2,3,4,5,6?,A??2,4,6?,B??2,3,5?，则eU?B等于（ ）
??A．?3,5? B．?4,6? C．?1,2,3,5? D．?1,2,4,6?
????2．已知平面向量a??x,?1?,b???2,1?，若a//b，则实数x的值等于（ ）
11 D．? 223．“x?1”是“lnx?0”的（ ）
A．2 B．-2 C．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序。若输入x?i（i为虚数单位），则输出的结果是（ ）
A．1 B．i C．-1 D．?i
5．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可．．能的是（ ） ．
6．任意画一个正方形，再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示。若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形的概率是（ ）
A．
1112 B． C． D．
48164B两7．抛物线y2?4x与过其焦点且垂直于x轴的直线的直线相交于A、
点，其准线与x轴的交点为M，则过M,A,B三点的圆的标准方程是（ ）
22A．x?y?5 B．?x?1??y2?1 C．?x?1??y2?2 D．?x?1??y2?4
222?????,b2?，ACB?8．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若a?1且C的值是（ ）
A．
is??1，则nA23211 B． C． D． 24414?3y???x?1?,?3??9．若不等式组?y?k?x?1?,表示的平面区域是一个等腰三角形区域，则直线
?y?0???y?k?x?1?
的倾斜角?的大小是（ ）
A．30 B． 300,750 C．300,1200 D．750,1200
010．对于函数f?x?，x?D，若满足对任意正数?，总存在正数?，使得对任意x1,x2?D，
x1?x2，只要x1?x2??，就有f?x1??f?x2???，则称函数f?x?在定义域D内具
有性质P。下列四个函数：①f?x??x?2,x??0,2?； ②f?x??③f?x??2x,x??0,2?； ④f?x???1,x??0,2?； x?4,x?0, 2x,0?x?2.?其中在定义域内具有性质P的函数的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置．
1???,???0,??，则cos????? 。 2?2?232212．?a?b??b?c?的展开式中abc的系数是 。
11．若cos??b为实数，ab?0，13．已知a、若函数f(x)?的最小值是 。
x1?x?sin?a?b?1是奇函数，则f?1?ab214．一组数据如茎叶图所示。若从中剔除2个数据，使得新数据组的平均数不变且方差最小，
则剔除的2个数据的积等于 。
x2y215．已知P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)右支上异于顶点的一点，F1、F2分别是双曲
ab?S?线的左、右焦点，M是?PF1F2的内切圆的圆心。若S?MPF1b? 。 a三、解答题：本大题共6小题，共80分． 16．（本小题满分13分）
数列?an?的前n项和为Sn，对n?N，点?n,an?恒在直线f(x)??2x?k上，点?n,Sn?*MP2F?1S?2，则M1F2F恒在抛物线g(x)?ax2?x上，其中k,a为常数。 （1）求数列?an?的通项公式；
（2）求直线f(x)与抛物线g(x)所围成的封闭图形的面积。 17．（本小题满分13分）
某数学兴趣小组共10名学生，参加一次只有5道填空题的测试。填空第i题的难度计算公式为Pi?RiN（其中Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数）。该次测试每道填空题的考前预估难度pi'及考后实测难度Pi的数据如下表：
题号 考前预估难度1 2 0.8 0.8 3 0.7 0.7 4 0.6 0.7 5 0.4 0.2 pi' 0.9 0.8 考后实测难度Pi （1）定义描述填空题难度预估值与实测值偏离程度的统计量为2221?'''?若S*?0.01，则称填空题的难度预估S???p1?P1???p2?P2?????pn?Pn??，?n?*是合理的，否则为不合理。请你判断该次测试中填空题的难度预估是否合理？并说明理由； （2）从该小组中随机抽取2个考生，记被抽取的考生中第5题答对的人数为?，求?的分布列及数学期望。 18．（本小题满分13分） 已知a为实数，函数f(x)??13x?x2?(a2?2a)x。 3（1）当a?1时，求函数f(x)在x?0处的切线方程；
（2）若函数f(x)在区间?1,2?上单调递减，求f(?3)的取值范围。 19．（本小题满分13分）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A- CP D1的体积为（1）求CP的长；
（2）求直线AD与平面APD1所成的角?的正弦值； （3）请直接写出正方体的棱上满足C1M∥平面APD1的所有点M的位．．置，并任选其中的一点予以证明。 20．（本小题满分14分）
2。 3x2y2已知直线3x?2y?23?0过椭圆E:2?2?1(a?b?0)ab的两个顶点。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）F为椭圆E的左焦点，且P (x0,y0)椭圆上的动点，过点M(x0,0)作直线PF的垂线，垂足为N，当x0变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的
14结论；若不是，请说明理由。 21．（本小题满分14分）
湄洲湾港被誉为“世界不多，中国少有”的天然良港。港口各泊位每天的水深（水面与洋底的距离）f(x)（单位：米）与时间x（单位：小时）的函数关系近似地满足
???f(x)?Asin?x????B(A,B?0,0???2?)。在通常
?6?情况下，港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务，而当货船的吨位超过泊位的
额定吨位时，货船需在涨潮时驶入航道，靠近码头卸货，在落潮时返回海洋。 该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务，货船将凌晨0点在该泊位开始卸货。已知该泊位当天的最低水深12米，最大水深20米，并在凌晨3点达到最大水深。 （1）求该泊位当天的水深f(x)的解析式；
（2）已知该货船的吃水深度（船底与水面的距离）为12。5米，安全条例规定，当船底与洋底距离不足1。5米时，货船必须停止卸货，并将船驶向较深的水域。据测算，一个装卸小队可使货船吃水深度以每小时0。1米的速度减少。
（Ⅰ）如果只安排一装卸小队进行卸货，那么该船在什么时间必须停止卸货，并将船驶向较深的水域（精确到小时）？ （Ⅱ）如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，问能否连续不间断的完成卸货任务？说明你的理由。