上海海事大学2012---2013学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案）
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一．填空题（每小格2分共28分）
1. 利用Seidel迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是Bs?（D-L)?1U)；
当系数矩阵A满足 严格对角占优 时，Seidel迭代法收敛 。 x 0 1
2. 已知函数f(x)有数据
f 1 9 则其线性Lagrange插值多项式为
f??(?)x(x?1) 2!x?1x?0?9?8x?1 插值余项为 0-11?0
3. 求解常微分方程初值问题
?y'?f(x,y), ??y(a)??a?x?b
的Euler二步法公式为yi?1?yi-1?2hf(xi,yi)， 它是2 阶方法。
3]? 3 4. 设f(x)?3x5?8x4?4x3?1,则差商f[-3,-2,-1,1,2，3]? 0 f[-3,-2,-1,0,1,2，
5. 5个节点的Newton-Cotes数值求积公式的代数精度至少具有5 次，
其最高代数精度为9
6. 对于非线性方程f(x)?0的Newton迭代法公式为
xn?1?xn?f(xn)，它在方程根附近是 平方 阶收敛的方法。 f?(xn)
7. 反幂法是求可逆矩阵按模最小 特征值和特征向量的计算方法．
QR法是计算 可逆矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法
8.
?二．求f(x)?sinx在[0,]上的一次最佳一致逼近多项式，并估计误差。
222sin(arccos)?0.771178） （已知arccos?0.880689??
（7分）
?解：f??(x)?-sinx,[0,]上不变号，所以二端点为交错点组点。
2
f()?f(0)f(0)?f(x2)0?x2f(x2)2x故：p1(x)??2(x?)??(x?2)
?222?2?02f()?f(0)222而 f?(x)?cosx2??，所以x2?arccos?0.880689 ????022f(x2)?sin(arccos)?0.771178
?2所以p1(x)?x?0.105257
?误差f(x)?p1(x)??f(0)?p1(0)?0.105257
三．用代数精度确定求积公式的求积系数，并指出其具有的代数精度。（7分）
???解：
10f(x)dx?w0f(0)?w1f(1)??0f?(0)
1f???(?)72已知f(x)?c3[0,1]，证明求积公式余项为：R(f)????(0,1)
?10f(x)dx?211f(0)?f(1)?f?(0) 336 具有二次代数精度。
以f(0)，f(1)，f?(0)作Hermite二次插值H2(x)，得余项
R?101f???(?)x2(x?1)3！??(0,1)
1100R(f)??f(x)dx?w0f(0)?w1f(1)??0f?(0)??f(x)dx??H2(x)dx??111???f(?)?x2(x?1)dx?-f???(?) ?03！721f???(?)x2(x?1)dx03！1四．设方程组Ax?b系数矩阵可逆，其扰动方程组为(A??A)(x??x)?b??b
证明 ： 当1?A?1?A?0时，有?x?cond(A)1?cond(A)A?11?A?1?A(?b??Ax)
和
?xx??AA(?bb??AA)成立
（6分）
解： 由(A??A)(x??x)?b??b得?x?A?b-A?Ax-A?A?x
-1-1-1故?x?A-1(?b??Ax)1?A?1?AA?1(
A?1A1?A?1又Ax?b，
?xx??bx1?A?1?A??A)??A(?bb??AA)
五．设?li(x)?是关于互异节点?xi?i?0,1,2?,n的Lagrange插值基函数，试证明：
?l(x)xii?0nii?0nki?xkkk?0,1,2,?n （7分）
?l(x)(x?x)i?0k?1,2,?n
解：设f(x)的n+1阶导数存在，则有：
f(n?1)(?)f(x)??f(xi)li(x)?(x?x0)?(x?xn)
(n?1)!i??0n当f(x)?x时（k?0,1,2,?n）， x?f(x)?nkk?xl(x)?0
kiii?0n 所以
?xl(x)?xkiii?0k
?(x?x)l(x)??kiii?0i?0knnkn?k?j?k?jk?jk?j???li(x)??x(?x)?(?x)xli(x) ??ii?j??j?j?0??j?0??i?0k?k?jk?j????(?x)x?(x?x)k?0 ?j?j?0??六．设方程组Ax=b有唯一解x*，其等价变形构造的迭代格式为x(k?1)?Bx(k)?f，
如矩阵谱半径?(B)?1，但B有一个特征值满足??1，求证：存在初始向量x(0)，使得迭代产生的序列?x?收敛于x。 （7分）
(x)*证明： 由x(k?1)?Bx(k)?f，x*?Bx*?f
x(k?1)-x*?Bx(k)-x*?Bk?1x(0)-x* 对于B的一个特征值满足
??????1，特征向量设为y，By??y,Bk?1y??k?1y,
故取初始向量x(0)?x*?y，有x(k?1)-x*?Bk?1x(0)-x*?Bk?1y??k?1y
??x(k?1)-x??*k?1y??k?1y?0,k??，所以?x?收敛于x
(x)*七．f(x)在[0，2]上具有五阶连续导数，已知f(0)?f?(0)?1，f(1)?f?(1)?0，
f(2)?1，试用基函数构造法求Hermite插值多项式H(x)，使其满足上列插值条
件，并估计误差。（7分）
解：解：H4(x)??0(x)??2(x)??0(x)
x2(x?1)212?0(x)??(5x?2)(x?1)（x?2)；?2(x)?
44?0(x)??(x?1)2(x?2)x2
1x2(x?1)213x2-6x?222H4(x)??(5x?2)(x?1)(x?2)??x(x?1)(x?2)?-(x?1)24422
插值余项：， R3(x)?
1(5)f(?)x2(x?1)2(x?2) ，0???2 5!135H(x)?N2(x)?Ax(x?1)(x?2),N2(x)??x2?x,由f?(1)?3得A??
2225372 H(x)??x?7x?x
221(4)2 又R(x)?f(x)?H(x)=f(?)x(x?1)(x?2)，??(0,2)
4!
八．给定函数函数f(x)，对于一切x，存在f?(x)，且0?m?f?(x)?M，
证明对于范围0???2内的任意定数?，迭代过程xk?1?xk-?f(xk)均收敛于Mf(x)?0的根。 （7分）
解：，f?(x)?0,单调，根存在条件下必唯一。迭代函数?(x)?x??f(x) ， ??(x)?1??f?(x)?1(需要满足的话）有条件0???2，0?m?f?(x)?M可得-1?1-?M?1-?f?(x)?1-?m M故： ??(x)?L?1, L?max(1??m,1??M)
**k*所以xk?x?Lxk?1?x?Lx0?x?0,k?? 所以limxk?x
*k??
九．设f?c2[a,b]，I(f)??f(x)dx
ab
1. 证明：中矩形求积公式截断误差
?2. 又设
bab?a(b?a)3f(x)dx?(b?a)f()?f??(?)224??(a,b)
b?a?h，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。2n（9分）
解：1. 令f(x)=1,x 等式成立。
b3?a3b?a2,右?（b?a)(),所以是1阶代数精度 f(x)?x,左?322因此：f(x)?f(c)?f?(c)(x?c)? 故：?f(x)dx??f(c)dx??aabbba1（b?a)； f??(?)(x?c)2c?221bf?(c)(x?c)dx??f??(?)(x?c)2dx
2a(b?a)3f??(?) =(b?a)f(c)?242.又：分划[a,b]2n等分，得：[x2（k-1）,，x2k]，k=1,2,…n，得复合公式：
b?a?h 2n