广州大学2015-2016学年第二学期考试卷参考答案
课 程：概率论与数理统计 考 试 形 式：闭卷考试
一、选择题（每小题2分，总计10分）
1．抛一枚硬币, 重复抛4次, 则恰有1次出现正面的概率是( D ).
(A) 116; (B) 16; (C) 110; (D) 14.
2．设A,B是两事件，且0?P(A)?1，则下面结论中错误的是( B ). (A)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)； (B)P(B)?P(B|A)?P(B|A)；
(C)P(A?B)?P(A)?P(AB)； (D)P(A?B)?P(A)?P(AB).
3．设f1(x)为参数2的指数分布的密度函数，f2(x)为[?1,1]上均匀分布的密度函数. f(x)???af1(x)x?0(a,b?0)为密度函数，则必有（ B ）. ?bf2(x)x?0A. a?2b?2； B. 2a?b?2； C. a?b?1； D. 2a?2b?1. 4．设一个连续型随机变量X的分布函数为
?0x?1F(x)???x?11?x?2
??1x?2则Y?2X的密度函数为（ C ）.
?0y?0?A. f(y)???2y0?y?2； B. f(y)??0其它??1?1y?2??21?y?2；
??y?2C. f(y)??0其它?0??y?1?22?y?4； D. f(y)???12?y?4.
?2??1y?45．设二维随机变量(X,Y)的联合分布概率为
XY 1 2 1 1/12 1/6 2 a 1/3 3 1/12 b
若X与Y独立，则P{X?Y?4}?（ B ）. A. 1/3； B. 5/12； C. 1/6； D. 2/3. 二、填空题（每小题2分，总计10分）
第 1 页 共 6 页《概率论与数理统计》A卷
若
1．每次试验中A出现的概率为p, 在三次试验中A出现至少一次的概率是98/125, 则p?___2/5________ .
2．随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X?E(X)}?1e
111，P(B|A)?，P(A|B)?，则P(A?B)?24534．若X~b(n,p)，且E(X)?1，D(X)?，则P{X?3}?43．若P(A)?1 213
2565．设X~N(3,18),X1,...,X16为X的一个样本，则样本均值X的方差为 18/16 . 三、（本题满分8分）
有两个口袋，甲袋中盛有3个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球．由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问取得白球的概率是多少? 解: 设事件A1为“由甲袋中取一球为白球”,事件A2为“由甲袋中取一球为黑球”, 事件B为“由乙袋中取一球为白球”,则
1131P(A1)?,P(A2)?,P(B|A1)?,P(B|A2)? ??(4分)
4424由全概率公式
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2) 31117????? ???(8分) 424416 四、（本题满分8分）
300台机床正在加工某种零件，机床在某时段出现故障的概率为0.004，求机床在这时段内出现故障数不大于1的概率。
解：设X表示机床在某时段出现故障数目，则X~b(300,0.004)，???(3分)
1P(X?1)?0.996300?C3000.004?0.996299?e?1.2e?2.2e 五、（本题满分10分）
设随机变量X的分布函数为
x?1?0?41?x?2??17 F(x)??112?x?3?17??x?3?1（1）求X的概率分布律；（2）求E(2X?1).
?1.2?1.2?1.2 ??????(7分)
第 2 页 共 6 页《概率论与数理统计》A卷
解：（1）由F(x)是一个阶梯型函数，知X是一个离散型随机变量，F(x)的跳跃点分别为1，2，3，对应的跳跃高度分别为4/17，7/17，6/17. 故X的概率分布为
X123 ------5分
476P171717（2）E(2X+1)=(2+1)*4/17+(2*2+1)*7/17+(2*3+1)*6/17=89/17.------10分 六、（本题满分14分）
设随机变量（X，Y）的概率密度
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f（x，y）=?
0,其他.?（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 解：（1） 由性质有
??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?1? 81????13（2） P{X?1,Y?3}???3f(x,y)dydx
??(3) P{X?1.5}?x?1.5??13k(6?x?y)dydx? 0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D11.54127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
D24?x ??dx?0(4) P{X?Y?4}?X?Y?42?? ??dx?0212(6?x?y)dy?. 83
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七、（本题满分为10分）
袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号
码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？
解：（1） X与Y的联合分布律如下表 3 4 Y X 5 P{X?xi} 6 103 101 10 1 2 3 11 ?3C5100 0 22 ?3C51011 ?3C5100 P{Y?yi}
1 103 1033 ?3C51022 ?3C51011 ?2C5106 10(2) 因P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立?
6161????P{X?1,Y?3}, 101010010 八、（本题满分10分）
某种型号元件的寿命X (单位:年)服从指数分布, 其参数? =ln2.购买这种元件100个, 求使用1年后有效的元件数在40?60之间的概率.
附表：标准正态分布数值表 ?(z)??z ?(z) 解: 所求概率为 P(X?1)??1?e??xdx?e???e?ln2?0.5 ??????????? 3分
?0 0.500 0.5 0.692 1.0 0.841 1?u2/2 edu??2?1.5 2.0 z2.5 0.994 3.0 0.999 0.933 0.977 (2) 以Y 表示购买的100个元件使用1年后有效的元件数, 则Y ~ b(100, 0.5). E(Y) =100? 0.5 =50,
D(Y) =100? 0.5? (1? 0.5) =25 ??????????? 5分
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由中心极限定理, Y*?Y?EY近似服从标准正态分布. 故 D(Y)40?50Y?5060?50??) 555 = P(? 2 ? Y*? 2)
P(180?Y?220)?P( = ?(2) ? ?(? 2) ??????????? 8分 = 2 ?(2) ? 1 = 2? 0.977 ? 1
= 0.954 ??????????? 10分
九、（本题满分10分） 设总体X服从正态分布N(?,16)，x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本观察值，求参数?的最大似然估计值. 解:似然函数为 L(x1,...,xn;?)??i?1n142?e(x??)2?i32?(42?)?nexp{?n?(xi?1ni??)2}-----------5分 32取对数得 lnL(x1,...,xn;?)??nln4n?2??2(x??)ii?132(xi??)d?i?1lnL(x1,...,xn;?)??0d?16??x, --------------------------10分 最大似然估计为? 十、（本题满分10分）
设从均值为?，方差为?2>0的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，X1和X2分别是两样本的均值，试证：对于任意常数a，b（a＋b＝1），Y＝aX1＋bX2都是?的无偏估计，并确定常数a，b，使D(Y)达到最小.
----------------------------8分 ?2?2解 由题意，E(X1)?E(X2)??， D(X1)?,D(X2)?, X1,X2相互独立, 则
n1n2E(Y)?E(aX1?bX2)?aE(X1)?bE(X2)?(a?b)???
所以，Y是?的无偏估计.
?a2b2?2因为 D(Y)?D(aX1?bX2)?aD(X1)?bD(X2)?????
?n1n2?由于a+b=1, 所以有
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ab(n1?n2)a?2n1a?n1， ?=
n1n2n1n2222对(n1?n2)a2?2n1a?n1, 有极小值
n1, a?n1?n2此时，D(Y)有极小值，代入(a+b=1)可得
n2 b?n1?n2?a2b2?2n1n2?2即当a?，b?，D(Y)??????达到最小值.
n1?n2n1?n2nnn?n?12?12
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