2012-2013 1 学年 学期 概率论与数理统计（A卷） 课程考试试题
数理学院 拟题学院（系）: 拟题人: 张菊芳 全校相关专业 适 用 专 业: 校对人: 陈 宁 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、填空题（每小题3分，共15分）
1. 已知P(A)?0.4，P(AB)?0.2，P(B)?0.5，则P(A?B)?_________；
2. 电灯泡的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后，最多只有1个灯泡损坏的概率为_________；
3. 设随机变量X服从指数分布，且E(X)?2，则Var(2X?1)?_________；
4. 设E(X)?5，Var(X)?0.25，利用切比雪夫不等式估计P{3?X?7}?_________；
??x??1,0?x?1，5. 设总体X的密度函数为f(x)??X是样本均值，则?的矩估计量为__.
其他，?0,二、选择题（每小题3分，共15分）
1. 设A, B为两个事件，若A?B，则下列结论中（ ）恒成立；
A) 事件A与B互斥 B) 事件A与B互斥 C) 事件A与B互斥 D) 事件A与B互斥
2. 掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为（ ）；
A)
1551 B) C) D) 111136363．设二维随机向量(X,Y)服从区域G?{(x,y)|0?x?1, 0?y?2}上的均匀分布，则
1； P{max(X,Y)?}?（ ）
27151A) B) C) D)
88841224. 设X~N(1,3)，Y~N(0,4)，?XY??，则Cov(X,X?Y)?（ ）；
2A) 3 B) ?3 C) 6 D) 0
5. 设X1, X2, ?, Xn是总体X的一个样本，已知E(X)??，Var(X)??，X是样本
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均值，则以下不正确的是（ ）.
A) Xi(1?i?n)是 ? 的无偏估计量 B) X是 ? 的无偏估计量
1n(Xi?X)2是?2的无偏估计量 C) X(1?i?n)是?的无偏估计量 D) ?n?1i?12i2三、计算题（每小题12分，共24分）
1. 甲袋中有2个白球、2个红球，乙袋中有3个白球、1个红球，先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，然后从乙袋中任取1个球，（1）求从乙袋中取到红球的概率；（2）若已知从乙袋中取到了红球，求从甲袋中取出的2个球都是红球的概率； 2. 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)???Ax(1?x), 0?x?1， 试求：
0, 其他，?（1）常数A；（2）X的分布函数；（3）P{?X?}. 四、计算题（第1、2小题每小题8分，第3小题14分，共30分）
1．袋中装有标上号码1，2，2的3个球，从中任取一个，并且不放回，然后再从中任取一球，以X,Y分别表示第一、二次取到球上的号码数，求： （1）X与Y的联合分布律；（2）P{X?Y}； 2. 设随机变量X~U(0,1)，试求Y?1?e2X1412的概率密度； .3．设二维随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???8xy, 0?x?y?1，
其他，?0,（1）求边缘概率密度fX(x), fY(y)；（2）判别X与Y是否独立；(3)求E(XY). 五、计算题（每小题6分，共12分）
1．在总体X~N(8,20)中抽取容量为100的样本，试求样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率；（已知?(1.5)?0.9332, ?(0.15)?0.5596）
2??e??x,x?0，2. 设X1, X2, ?, Xn是来自总体X的样本，X的概率密度为f(x)?? 其
x?0，?0,中，未知参数??0，求参数?的极大似然估计量. 六、证明题（4分）
设X1, X2, X3, X4是来自正态总体X~N(0,2)的样本，试证明：统计量
(X1?X2)2?(X3?X4)22服从?分布，并求其自由度.
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2012-2013 学年 1 学期 概率论与数理统计（A） 试题标准答拟题学院（系）： 数理学院 拟 题 人： 张菊芳 适用专业： 全校 书写标准答案人： 张菊芳 （答案要注明各个要点的评分标准）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．0.8；2. 0.104 ；3. 16. ；4. 0.9375（或15/16）；5. 二、选择题（每题3分，共15分） 1．C； 2. C ； 3. A； 4. A； 5. C. 三、计算题（每小题12分，共24分）
1．解：设Ai?{从甲袋中取出了i个红球}，i?0,1,2，B?{从乙袋中取的是红球}，则
2112C2C2C22C211P(A0)?2?,P(A1)??,P(A)??, 222C46C43C46X 1?XP(B|A0)?1623P(B|A1)?,P(B|A2)? ……………………4分
66（1）由全概率公式，P(B)??P(A)P(B|A) ……………………6分
iii?021122131???????, …………………..8分 6636663(2)由贝叶斯公式，P(A2|B)?P(B|A2)P(A2) ……………… 10分
P(B)131???3? ……………12分 6642．解：（1）
????f(x)dx??Ax(1?x)dx?1， ……..………2分
01x2x31AA(?)|0??1，A?6 ……..………3分 236（2）F(x)??x??f(t)dt …………..…4分
第3页，共2页 3
x?0?0,??x???(6t?6t2)dt,0?x?1 …………..……7分
0?x?1??1,x?0?0,???3x2?2x3,0?x?1 ………..………9分 ?1,x?1?111112（3）P{?X?}??12(6x?6x)dx? …………12分
42324或P{?X?}?F()?F()?1412121411 32121??, 323四、计算题（第1、2小题每小题8分，第3小题14分，共30分） 1．解：(1)X?1,2;Y?1,2， P{X?1,Y?1}?0,P{X?1,Y?2}?211211P{X?2,Y?1}???,P{X?2,Y?2}??? …………4分
323323即联合分布律为
Y 1 2 X 0 1/3 1 1/3 1/3 2 …………5
分
(2) P{X?Y}?P{X?1,Y?1}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?2}?0?分
2．解：X的密度函数为fX(x)??112?? …8333?1,0?x?1, …………1分
0,其他.?y?1?e2x在区间（0,1）内，y??2e2x?0,2?y?1?e2,
11x?h(y)?ln(y?1),h?(y)? …………4分
22(y?1)第4页，共2页 4
?fX(h(y))|h?(y)|,2?y?1?e2,fY(y)??,其他．?0, …………6分
?1,2?y?1?e2???2(y?1) ………………8分 ??0，其他
3．解（1）fX(x)?????f(x,y)dy ?????18xydy,0?x?12x???4x(1?x),0?x?1 ??0,其他?0,其他f?Y(y)????f(x,y)dx
?????y308xydx,0?y?1???4y,0?y?1 ??0,其他?0,其他（2）X与Y不相互独立，因为f(x,y)?fX(x)fY(y) （3）E(XY)??110dx?xxy?8xydy ?8?1x2(1?x3)03dx?49 五、计算题（每小题6分，共12分）
1．解： 因为X?820/100?X?82~N(0,1)， P{|X?8|?3}?P{|X?8|2?32}?2[1??(1.5)] ?2[1?0.9332]?0.1336 2．解：对于给定样本值x1,x2,?,xn，当xi?0时，似然函数为
nn??L(?)???e??xi??ne?xii?1 i?1第5页，共2页 …………..2分
…………4分 …………….6分
…………8分 …………10分 …………12分
…………14分
…………2分
…………4分
…………6分
2分
5
………………取对数得，lnL(?)?nln????x,
ii?1ndlnL(?)nn???xi?0 ………………4分
d??i?1???的极大似然估计为?n?xi?1n?i1 x?? ?的极大似然估计量为?六、证明题（4分）
1 …………………6分 X证：因X1,X2,X3,X4相互独立且均服从N(0,2)，X1?X2~N(0,4),X1?X2 ~N(0,1)，
2X3?X4~N(0,1), ……………2分 2X?X4X?X2且1与3相互独立，
22同理,
?X?X2??X3?X4?2~?(2) ………………4分 所以?1????22????22
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