嘉兴学院数学建模课程论文
摘 要
合理的安排教学计划是教务运作中的一项重要工作，只有合理的利用现有师资等资源才能使得教学效率达到最高，使每位教师承担的教学量达到均衡，并且能在规定时间内完成学期任务，让同学在学习过程中不会因为课程连续上而感到厌倦。这是一个复杂的组合优化问题，在合理的假设下，根据实际情况在具体模型建立过程中对“教师-课程”组合采用0-1规划，“教师-班级”组合采用整数规划，然后结合各个约束条件，逐步建立模型并不断进行修改完善，并使用LINGO实现算法,得出教师与课程之间的合理对应关系。再对得到的数据进行整理，得出最合理的教学安排。
关键词：教学计划 0-1规划 整数规划 LINGO
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正文 一、 问题叙述
在学校的教务管理工作中，教学计划的安排是一项十分复杂、棘手的工作。它需要考虑时间、教师、课程、班级等因素，经过优化的安排，可以在任意一段时间内，教师不冲突，授课不冲突，授课的班级不冲突，且使每名教师承担的教学量达到均衡。某学校有42名教师，一学期开设了14门课程（每门课都有固定课时），本学期共有20周，总共238个班（详细见表1），由于教学任务过多等原因，在教学安排上，有些教师可能承担的教学量（即教学课时）较多，有些则较少，现在你的任务是，如何合理安排教学计划，力求使每名教师承担的教学量达到均衡。同时，还需满足一定条件：1.安排每名老师一周不能超过六次课（即12课时，每次课两课时）；2.尽可能地安排在周一至周五，每天8节课（即四课时）；3.每名教师授课班级不超过8个，每名教师承担课不超过两门；4.由于身体等原因，教师尽量不要每天连续授课。
表1本学期该校的教学任务
课程名称 课时 授课班级总数
A 104 38 B 104 51 C 88 17 D 48 5 E 48 1 F 72 1 G 64 1 H 64 1 I 48 2 J 108 1 K 48 1 L 48 2 M 64 1 N 48 116
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二、 模型假设
1. 假设每名教师每门课都能教，不考虑教师的个别特殊情况;
2. 假设学校教室资源足够，不考虑教室资源对教学计划安排的约束； 3. 不考虑节日等因素对教学计划安排的影响；
4. 假设留出最后两周给学生准备期末考试，不安排课程。
三、 符号说明
xij?1,1表示第i个教师上第j门课程，0表示第i个教师不上第j门课程；
0,?zik：第i个教师教授第k个班级；
tj:第j门课程的每周上课次数；
cj:第j门课程的课时数；
yj:第j门课程的上课班级数。
四、 模型分析和建立
1.课时数的安排：由于考虑到要给同学期末复习时间，所以只安排前18周的课。结合表格的数据，对每门课做一个笼统的分析，以课程A为例，总课时为104及52次课，安排1到17周，每周3次，18周一次，刚好能完成课时。以此类推，每门课的周上课次数安排如下（其中1.5表示分单双周，是一个平均值）。
课程A 课程B 课程C 课程D 课程E 课程F 每周3次课 每周3次课 每周2.5次课 每周1.5次课 每周1.5次课 每周2次课 3
课程G 课程H 课程I 课程J 课程K 课程L 课程M 课程N
模型的约束条件：
每周2次课 每周2次课 每周1.5次课 每周3次课 每周1.5次课 每周1.5次课 每周2次课 每周1.5次课 2.使每名教师承担的教学量达到均衡，得出目标函数：
1142minf??(?xijcj??cj)
42j?1i?1j?13.每名老师一周不能超过六次课（即12课时，每次课两课时），得出约束条件：
144214?xt?6，i=1，?,42
ijjj?14.考虑到每名教师承担课不超过两门，得出约束条件：
?xj?114ij?2, i=1，?,42
5.使每名教师授课班级不超过8个，对于授课班级总数少于8的课程不需考虑，以授课班级总数为38的课程A为例，38/8=4.75，所以最少需要5个教师教授这门课程，以此类推，B门课程至少需要7个教师，C门课程至少需要3个教师，N门课程至少需要15个教师。得出以下4个约束条件：
?xi?142i1?5 ?xi2?7 ?xi3?3 ?xi14?15
i?1424242i?1i?1?xi?142i4?1
?xi?142i5?1
?xi?142i6?1
?xi?1
42i7?1
?xi?142i8?1
?xi?14
42i9?1
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?xi?142i10?1 ?xi11?1 ?xi12?1 ?xi13?1
i?1i?1424242i?1
目标性条件：在排课时满足假设的条件下，衡量排课是否为非劣的目标条件是力求每名教师承担的教学量达到均衡。即：使每个教师实际安排的课时与本学期的教学计划的平均课时的方差f达到最小。
目标性条件是以发生的次数为赋权，其权数的大小可以衡量该目标的适应程度。并把权定义为适应性函数。每个目标性条件都是一个目标函数，排课的目标就是寻找使目标条件同时达到最优的可行解。因此排课问题是以确定性条件为约束条件、目标性条件为目标函数的一种多目标函数优化问题。值得注意的是，不能简单地用“加权取和”构造目标函数求极值．这主要原因是：决策变量是离散的变量，“加权取和”的目标函数可能得不到可行解。着重讨论该模型的建立和算法的实现。
五、 模型求解
目标函数及约束条件：
114minf??(?xijcj?cj)2 ?42j?1i?1j?14214 5