高数下册第8章练习解答
一、单项选择题 1. 空间坐标系中O(0,0,0),A.
?2A(2,1,0),B(2,1,1)，则向量AB与OB的夹角为（ C ）
66 B.
?3 C.arccos D.0
2. 设空间点A(1,-2,3),则与点A关于原点对称的点的坐标为（ B ）
A.（1,2,3） B.（-1,2，-3） C.（-1,-2,3） D. （1,2,-3） 3．下列平面中，与平面x?2y A. x?2y?z?5?0?z?1?0垂直的平面是( C )
y?3z?5?0 C. x?y?3z?10?0 D. 3x?5y?z?6?0 B. 2x?
4. 设向量a??3,2,?1?，bA.
23?4???2,,k?.已知a?b?3?，则k?（ B ）.
B.
?263 C.
72 D.1
5. 向量a??{2,?3,6}，则与a同向的单位向量为（ D ）
17{2,?3,6}
A.{2,?3,6} B.? C.?17{2,?3,6} D.
17{2,?3,6}
6．平面方程 3x?5z?1?0中，下列结论正确的是（ B ）
A. 平行于zox 平面 B. 平行于y 轴 C. 垂直于y 轴 D. 垂直于x 轴 7. 直线
x?12?y2?z?11与平面3x-y+z=0的位置关系是（ D ）
A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 斜交 8. 直线
x?21?y?1?2?z2与平面2x?4y?4z?2的位置关系是（ C ）
A.平行 B.重合 C.垂直 D.斜交 9. 平面2z?3y?0的特点是（ C ）
A. 与x轴平行但无公共点的平面 B.与yOz平面平行的平面 C. 通过x轴的平面 D. 与x轴垂直的平面 10. 向量a A.
?2?????????2i?3j?k与??4i?2j?2k的夹角为 （ A ）
C. ? D.
?4 B. 0
11. 设x轴在平面AxA.A
?D?0
?By?Cz?D?0?0,C?0上，则必有( A )
?0,C?0B.B C.B D.B?D?0
二、填空题（将正确答案填在横线上） 1. 过点(2,?1,3)且垂直于直线
x?11?y2?z?1?1的平面方程为 ．x?2y??3z?3?0
2．平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角θ= ．
?????33.设a?{1,?2,2}，b?{1,1,?4}，则夹角(a,b)=_______.?4?4. 设向量a???与b?{2,?1,2}平行，a?b??18
，则a＝ . {?4,2,?4}
?和b????5．设a?{0,1,2},b?{?1,1,?3}，则同时垂直于a的单位向量为 . 130{?5,?2,1}
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????a?1 , -1, k 6．设向量与向量 b??2 , 4, 2 ? 垂直，则k=_____________．1
y?z422?y22?x?1?7．曲线 ?4 绕x?z?0?轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 . ?x?1
2????8. 设两向量分别为a??1,?2,2?和b??1,1,?4?，则数量积a?b=_______.-9
9. 设点A位于第I卦限，向径????OA与x轴，y轴的夹角依次为
π和
π，且
????OA?6，则点
A的坐标
34为 ．(3,32,3)
10. 点
（1,2,1）到平面3x?5y?z?2?0的距离为 .
10
3511．直线
x?1?y?2?z121与平面3x?y?z?4?0的交点为 .
三、解答下列各题 1.求平行于x轴，且过点M(3,?1,2)及N(0,1,0)的平面方程.
解： 设该平面的方程为
Ax?By?Cz?D?0 ，
由于该平面平行于x轴，所以A?0. ……2分 又因为经过点M,N，于是
??B?2C?D?0?， ……?B?D?04分 解上述方程组有：B?C,B??D，所以平面的方程： ……6分 y?z?1?0。 ……7分
2.求过点M?x?7z0(2,4,0) 且与直线 l1:?1?0? 平行的直线方程．
?y?3x?2?0???ijk解： 所求直线的方向向量为
????S?107??7i?21j?k ?310所求直线方程为
x?24?7?y??21?z1 3.求过点?2,0,?3?且与直线-2y?4z-7?0??x垂直的平面方程．
?3x?5y-2z?1?0解：????s1?(1,?2,4),s2?(3,5,?2) ……2
分
取所求平面方程的一个法向量为???
?ijk???n?1?24??16i?14j?11k ……5分
35?2 故所求平面方程为16(x?2)?14(y?0)?11(z?3)?0
即 16x?14y?11z?65?0 ……7分
(?5,?5,?9424)
……4分
.7分
……高数下册第8章练习解答
4.验证两直线L1解： 将直线L1代入
x?23?1::x1x1??y?5221??z?211与L2:x?23?y?41?z?21相交，并求出它们所在的平面方程.
……1分
分
y?5z?2化为参数式得x?t,y?2t?5,z?t?2y?4?z?2得t??1，即两直线过同一点，从而相交。 ……3
?所求平面的法向量可取为S?1?i?j2?k???1?i?2j?5k …… 5分
311取点（2，4，2），故所求平面方程为(x?2)?2(y?4)?5(z?2)?0 5.求过点(0,?1,3)且与平面?:x?2y?2z?1?0垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.
?解：由于所求直线的方向向量可取为S?{1,2,?2} 所求直线的方程为
xy?131?2?z??2 ?x?t将直线的参数方程??y?2t?1代入平面方程得t?2(2t?1)?2(?2t?3)?1?0
??z??2t?3得 t?1 ，故得交点(1,1,1)。
6．求通过点P（1，2，3）且垂直于两平面2x?y?z?0 ,x?y?2z?1?0的平面方程.
解：令?????n1?(2,1,?1),n2?(1,?1,2). ……2分 ???ijk可取所求平面的一个法向量????n?21?1?i?5j?3k ……4分 1?12所求平面为x?1?5(y?2)?3(z?3)?0,即x?5y?3z?18?0 ……7分 7．求过点?2,1,3?且与直线x?1?13?y2?z?1垂直相交的直线的方程．
解：令
x?1?13?y2?z?1?t
作函数f(t)?(3t?1?2)2?(2t?1?1)2?(?t?3)2?14t2?12t?18 ……2
分
解
f?(t)?28t?12?0得t?37 ……3分
所以所求直线与已知直线的交点为?23??7,137,?? ……5
分
?7?从而所求直线为
x?2y?1x?2y?1?312??z?324 即 2??1?z4 ……7分
7?6778．求过点M(3,?1,2)、N(0,1,0)、W(2,1,0)的平面方程.
???ijk解：??????n?MN?MW?(?3,2,?2)?(?1,2,?2)??32?2?0i?4j?4k ……3分 ?12?2所求平面方程为 ?4y?4z?4?0
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……7分……1分 ……3分
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即
?y?z?1?0 ……7分
?和b??1,?1,0?，试求此平面方程． ?k?9．一平面过点?1,0,?1?且平行于向量a??2,1,1??i?j1?1???解：所求平面的一个法向量为n?a?b?21???1?i?j?3k ……30分
故所求平面为x?1?10. 求过点My?3(z?1)?0即x?y?3z?4?0 ……7分
y?24?z1(1,0,?2)且与平面3x?4y?z?6?00平行，又与直线L:x?31? 垂直的直线方程.
解：直线的方向向量既垂直于向量（3，4，－1）又垂直于向量（1，4，1）
i?j44k?1?(4?4)i?(?1?3)j?(12?4)k?4(2i?j?2k)1
s?31 ……4分
所求直线方程为
x?12?y?1?z?22 ……7分