本科学生毕业论文
一元函数极限的求法
作 者 院 (系) 专 业 数学与应用数学 年 级 2008级 学 号 指导老师
论文成绩 日 期
第1页
学生诚信承诺书
本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．
签名： 日期：
论文使用授权说明
本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文．
签名： 导师签名： 日期：
第2页
一元函数极限的求法
摘 要：本文介绍了求极限的几种方法,通过对函数特点的分析恰当选择不同的方法,并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想．
关键词：极限；方法；函数；介绍
1 引 言
极限研究的是函数的变化趋势,在自变量的某个变化过程中,对应的函数值能无限接近某个确定的数,那这个数就是函数的极限了.极限是数学分析中一个非常重要的概念, 是贯穿数学分析的一条主线,它将数学分析的各个知识点连在了一起,所以,求极限的方法显得尤为重要的.我们知道,函数是数学分析研究的对象,而极限方法则是在数学分析中研究函数的重要方法,因此怎样求极限就非常重要?1?.
早在我国古代刘徽的九章算术中提到“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”就涉及了到了极限.古希腊人的“穷竭法”也蕴含了极限思想.到了18世纪,罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念,并且都对极限作出过各自的定义.在有了极限的定义之后,为了判断具体某一函数是否有极限,人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后,法国数学家柯西获得了完善的结果,即柯西收敛原理,到了近代,在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法?2?.
本文介绍了一些求极限的方法有：利用???定义、函数连续性、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展式求极限、微分中值定理、迫敛性等等.那么在运用这些方法时应该注意一些细节问题.在利用???定义,求解的关键在于不等式的建立,在求解过程中往往采用放大、缩小等技巧.运用连续性求极限时,在定义域范围内求极限,可以将该点直接代入得极限值,因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值.运用极限四则运算时,要注意分子分母有理化,当然对于简单的一类,直接代入,如果代入后分母为零,就化简,比如分解因式,然后代入其中.当极限形式中含有三角函数时,
sinx?1来求解.这时我们一般可通过三角公式恒等变换和等价变换,然后利用重要极限limx?0x?1?在运用重要极限lim?1???e?2?求极限时,可通过配系数法、变量替换来转换成1?型极
x???x?限.
2 求极限的方法
2.1 利用定义求极限
定义2.1.1?2? 设f在点x=a的空心邻域U??a?有定义,A为定数．若对于任给的??0,存在??0,使得当0?x?a??时有
xf(x)?A??,
则称函数f当x趋于a时,以A为极限,记作
limf(x)?A或f?x??A?x?a?．
x?a定义2.1.2?2? 设f为定义在?a,???上的函数,A为定值,若对任给正数?,存在正数M(?a), 使得当x?M时有
第1页
f?x??A??,
则称函数f当x???时以A为极限,记作
limf?x??A或f?x??A?x????．
x???x趋向于??时的函数极限的定义与定义2.1.2相似,只要把定义中的x?M改为x??M即可．
2x-3x?2例2.1.1 用极限定义证明：lim=1
x?2x-2证 由
x2?3x?2x2?4x?4 ?1=
x?2x?2(x?2)2 =
x?2 =x?2．
???0,取?=? 则当0?x?2??时,就有
x2?3x?2?1??,
x?2由函数极限?-?定义有
2xlim-3x?2=1． x?2x-2 注 用极限的定义时,只需要证明存在?,故求解的关键在于不等式的建立,在求解过程中往往采用放大、缩小等技巧．但是不能把含有?的因子移到不等式的另一边再放大,而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大,有时还需要加入一些限制条件．限制条件必须和所求的?一致,最后结合在一起考虑． 2.2 利用单侧极限求极限
这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在．
定理2.2.1 函数极限limf(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限lim?f(x) 及右
x?x0x?x0极限lim?f(x)都存在且都等于A．即有
x?x0x?x0limf(x)?A?lim?f(x)=lim?f(x)=A.
x?x0x?x01??xsin,x?0例2.2.1 f(x)??x
?1?x2,x?0?求f(x) 在x?0的左右极限．
解 因为
x?0limx?sin?1?0,lim1?x2?1, ?x?0x所以f(x)在x?0的极限不存在.
2.3 利用迫敛性定理求极限?2?
定理2.3.1 设在某U0(x0)内有f(x)?g(x)?h(x),若limf(x)?limh(x)?A
第2页
?_（这里x?x0,或x?x0,或x?x0,或x??,或x???,或x???）,则
limg(x)?A?lim(f(x)?h(x))?0．
由内容看出用迫敛性定理的关键在于找出具有相同极限值的f(x),g(x)．用缩小,放大的办法找出{f(x)},{g(x)}．
?1?例2.3.1 求limx?? ．
x?0?x?解 当x?0时,有
?1?1?x?x???1,
?x?而 lim?1?x??1 , ?x?0故由迫敛性可得
?1?limx?1 ． ??x?0?x???1?另一方面,当x?0时,有1?x???1?x ,
?x?故由迫敛性又可得
?1?limx?1 , ??x?0?x??综上所述,我们可以得出
?1?limx???1 ． x?0?x?注 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数,并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限． 2.4 利用函数极限的四则运算求极限
定理2.4.1?3? 若极限limf(x)和limg(x)都存在,则函数f(x)?g(x),f(x)?g(x)
x?x0x?x0当x?x0时也存在,且
(1) lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)；
x?x0x?x0x?x0(2) lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)；
x?x0x?x0x?x0limf(x)f(x)f(x)x?x(3) 若limg(x) ?0,则在x?x0时极限也存在,且有lim． ?0x?x0x?x0g(x)g(x)limg(x)x?x0x3?2x2?4x?8例2.4.1 求 lim
x?2x3?3x2?4解 由于x?2时,x3?2x2?4x?8?0,x3?3x2?4?0 故无法直接用四则运算,应先化简原函数
x3?2x2?4x?8原式 =lim
x?2x3?3x2?4x2(x?2)?4(x?2) =lim3
x?2(x?2x2)?(x2?4)
第3页