2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛
试题参考解答
（2017年4月9日）
选择题答案 1 A 填空题答案
2 A 3 B 4 D 5 C 6 D 1 24 2 8 3 9.5 4 2 5 6 7 8 504 (12?42)??4 101 45
一、选择题
1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x2?2?A, x?2?A}，则集合B的所有元素之积为 （A）36． （B）54． （C）72． （D）108． 答：A．
解：由x2?2?A，可得x2=4，2，3，9，即x=?2，?2，?3，?3． 又因为x?2?A，所以x?2，x?3，故x= ?2，?2，?3，?3． 因此，集合B={?2, ?2, 2, ?3, 3，?3}．
所以，集合B的所有元素的乘积等于(?2)(?2)(2)(?3)(3)(?3)=36． 2．已知锐角△ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则tan(（A）
?BAC)= 232． （B）． （C）1． （D）3． 32答：A．
解：作锐角△ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角△ABC的垂心H也在形内．
连接BO交⊙O于K，BK为
O的直径. 连接AK，CK．
E O B A K H C 因为AD，CE是△ABC的高，∠KAB，∠KCB是直径BK上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE，KC//AD，因此AKCH是平行四边形．
所以KC=AH=AO=
1BK． 21BK，得∠BKC=60°，所以∠2D 在直角△KCB中，由KC=BAC=∠BKC=60°．
故tan(
3?BAC)= tan30°=．
323．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n组2n?1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k组中，则k为
（A）31． （B）32． （C）33． （D）34． 答：B.
解：数2017是数列an= 2n ?1的第1009项．设2017位于第k组，则
1+3+5+…+(2k?1)≥1009，且1+3+5+…+(2k?3)＜1009．
?k2?1009即k是不等式组?的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 2?(k?1)?10094．如图，平面直角坐标系x-O-y中，A, B是函数y =
1在第I象xy y =A 限的图象上两点，满足∠OAB=90°且AO = AB，则等腰直角△OAB的面积等于
1 xB 2351（A）． （B） ． （C）． （D）．
2222答：D．
O x 解：依题意，∠OAB=90°且AO = AB，∠AOB=∠ABO=45°．过点A做y轴垂线交y轴于点C，过点B做y轴平行线，交直线CA于点D．
易见△COA≌△DAB． 设点A(a,
y 1y = 111)，则点B(a +, ? a)． aaaC 1111因为点B在函数y =的图象上，所以(a +)(? a)=1，即2?
xaaaa2=1．
因此S△ABC =
O xA D B x 1111OA2=(2+ a2) =22a2(1522?a)?4?． 2a25．已知f (x) = x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m，则f (10)?f (?5)= （A）71655． （B）75156． （C）75615． （D）76515． 答：C．
解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m，所以1, 2, 3, 4是方程f (x)?2017x=0的四个实根，由于5次多项式f (x)?2017x有5个根，设第5个根为p，则
f (x)?2017x = (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?p)
即 f (x) = (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?p)+2017x．
所以f (10)=9×8×7×6(10?p)+2017×10，f (?5)=?6×7×8×9(5+p)?2017×5， 因此f (10)? f (?5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．
?|x|,x?a,6．已知函数f(x)??2若存在实数m，使得关于x的方程f (x)=m有四个
?x?4ax?2a,x?a.不同的实根，则a的取值范围是
（A）a?答：D．
1111． （B）a?． （C）a?． （D）a?． 7654解：要使方程f (x)=m有四个不同的实根，必须使得y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点．而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|, x≤a的图像和y=x2?4ax+2a, x＞a的图像的交点分别都是2个．
而存在实数m，使y=m与y=|x|, x≤a的图像有两个交点，需要a＞0，此时0＜m≤a；又因为
4?2a?(4a)2y=x?4ax+2a, x＞a顶点的纵坐标为，所以，要y=m与y=x2?4ax+2a, x＞a的图像有两
42
4?2a?(4a)2个交点，需要m＞．
4因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：
4?2a?(4a)20＜m≤a且m＞，
4解得a?
二、填空题
1. 用[x]表示不超过x的最大整数，设S?[1]?[2]?[3]?答：24．
解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1≤1,
1． 4?[99]，求[S]的值．
2, 3＜2，因此
[1]?[2]?[3]?1，共3个1；
同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，[4]?[5]?[6]?[7]?[8]?2，共5个2；又32
≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此[9]?[10]?依次类推，[16]?[17]?=[15]?3，共7个3；
?[23]?[24]?4，共9个4； ?[34]?[35]?5，共11个5； ?[47]?[48]?6，共13个6； ?[62]?[63]?7，共15个7； ?[79]?[80]?8，共17个8； ?[98]?[99]?9，共19个9.
?[99])
[25]?[26]?[36]?[37]?[49]?[50]?[64]?[65]?[81]?[82]?S = ([1]?[2]?[3])+([4]?[5]?[6]?[7]?[8])+…+([81]?= 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．
因为242=576＜615=S＜625=252，即24＜S＜25，所以，[S]=24．
1log220171log420171log820171log1620171log322017152．确定(2017答：8．
×2017×2017×2017×2017)的值．
解：原式=(2017
log20172×2017
15log201741
×2017
2
3
log201784
×2017
log201716×2017
log201732)
15 =(2×4×8×16×32)= (2×2×2×2×2)
=(2
11+2+3+4+55155)=(2)=23=8．
11553．已知△ABC的边AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求△ABC的面积． 答：9.5平方厘米．
解：注意到13=3+2，29=5+2，34=5+3，作边长为5厘米的正方形AMNP，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此△ABC的面积可求．
△ABC的面积=5×5?
C M B N
2
2
2
2
2
2
A P
111×3×5?×2×5?×2×3=9.5（平方厘米）． 222(x?1)2?ln(x2?1?x)4. 设函数f(x)?的最大值为M，最小值为N，试确定M+N的值． 2x?1答：2．
2x?ln(x2?1?x)解：由已知得f(x)?1?
x2?1因为
ln(x2?1?x)?ln((?x)2?1?(?x))?ln[((?x)2?1?(?x))((?x)2?1?(?x))]
=ln((?x)?1?(?x))?ln1?0，
所以ln((?x)?1?(?x))??ln(x?1?x)， 因此，ln(x?1?x)是奇函数．
222222x?ln(x2?1?x)进而可判定，函数g(x)?为奇函数．
x2?1则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1= 0． 因为M =M1+1，N = N1+1，所以 M + N = 2．
5．设A是数集{1, 2, …, 2017}的n元子集，且A中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n的最大值．
答：504．
解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A中恰有504个元素．
事实上504是n的最大值．
因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A中，存在整除关系．
6．如图，以长为4厘米的线段AB的中点O为圆心、2厘
F
O
E
C
B
A
D
米为半径画圆，交AB的中垂线于点E和F. 再分别以A、B为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE于点C，交射线BE于点D. 再以E为圆心DE为半径画圆弧DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）
答：(12?42)π?4平方厘米． 解：半圆(O, 2)的面积=
1π×22=2π． 2因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD=4，AE=BE=22，ED=EC=4?22． 又∠AEB=∠CED=90°，∠EAB =∠EBA=45°， 因此，扇形BAD的面积=扇形ACB的面积=
11π×42=2π，△AEB的面积=×4×2=4，直角扇形82EDC的面积=
1π(4?22)2= 6π?42π， 4?△AEB的面积+直角扇形EDC的面积
卵形AFBCDA的面积 = 半圆(O, 2)的面积+扇形BAD的面积+扇形ACB的面积
= 2π+2×2π?4+6π?42π = (12?42)π?4（平方厘米）．
x27. 已知f(x)?2，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．
x?100x?5000答：101．
解：设g(x) = x2?100x+5000，则
g(100?x) = (100?x)2?100(100?x)+5000=1002?200x+x2?1002+100x+5000 = x2?100x+5000= g(x)， 即 g(k) = g(100?k)．
k2(100?k)2k2?(100?k)2?所以 f (k) + f (100?k) = ==2， g(k)g(100?k)g(k)5021002=1，=2. 又 f (50) =2 f (100)=250?100?50?5000100?100?100?5000所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)
= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．
8．如图，在锐角△ABC中，AC = BC = 10，D是边AB上一点，△ACD的内切圆和△BCD的与BD边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB的长．
答：45．
解：线段AB被两圆与AB的切点及点D分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a, b, b, c，由于圆O2的切线长CE = CG，所以BC+a = CD+b = (AC?c+b)+b，而AC = BC，所以a+c = 2b．
C
A D B E B a · O2 b D G b · O1 c C
F A
由等角关系可得△AO1F∽△O2BE，得此推出ac = 4．
分别计算△BCD和△ACD的面积：
O1FBE2a，即?，由?AFOEc22S?BCD?所以
11?2(BC?CD?BD),S?ACD??2(AC?CD?AD)
22S?ACD?S?BCD?AD?BD?AB?a?c?2b?4b. ①
又设由C引向AB的高为h，可得
11S?ACD?S?BCD?(c?a)h?(c?a)2?4ac?102?(2b)2②
22
由①、②两式可得
4b?1(c?a)2?4ac?102?(2b)2 242将a+c = 2b，ac = 4代入，化简得b?25b?100?0
解得b2=5或b2=20，即b =5或b = 25，（负根舍）． 于是，AB = a+c+2b = 4b = 45，或AB = 85．
若AB = 85，△ABC为钝角三角形，不合题设△ABC是锐角三角形的要求． 所以AB的长为45．