训练题目：飞越北极
学生学号：07500125 姓名：郭艳
计通院信息与计算科学专业 指导教师：黄灿云 （理学院）
2010年春季学期
目录
一 前言 .................................................................................................. 2 二 飞越北极 .......................................................................................... 3 1 论文摘要 ............................................................................................ 3 2 问题重述与分析 ................................................................................ 3 3 假设与模型 ........................................................................................ 4 3.1模型的假设 ...................................................................................... 4 3.2数据的说明 ...................................................................................... 4 3.3模型的建立与求解 .......................................................................... 5 4 模型评价与推广 ................................................................................ 7 三 总结 ................................................................................................ 8 四 参考文献 .......................................................................................... 9 五 附录 .................................................................................................. 9
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07500125 郭艳 数学模型与数学软件综合训练
一 前言
极地航路是指穿越极地区域的飞行，东航在中美之间的直飞，便选取北极上空的航路，常规的中美间跨太平洋上空的航路基本是通过一定弧度、围绕地球的同纬度飞行，而极地航路则是沿经线的竖直方向飞行，因此可以避免由此引起的中间经停。近几年中美之间航空客、货运市场的不断增大，穿越北极上空的极地航路成为解决这一问题最经济、最有效的方法。据东航有关负责人透露，东航不久将开通上海直飞纽约、芝加哥、西雅图的航班。 美西北航空公司负责人表示，“我们目前每周有四班到底特律的航班都是跨越极地飞行，使用的是波音747。如今这条航线确实特别具有市场竞争力，使得我们每班飞机的乘坐率上升了不少。”而且选择这条航线不仅能为乘客节约旅途时间，不用经受途中经停之苦，而且对普通乘客来说，从极地经过，还可以欣赏极地别具一格的景色，是趟不错的“极地之旅”。要完成极地航路飞行，航空公司必须具备相当的实力。因为极地航路具有一些常规航路所没有的困难：磁场强烈，对航空器通讯导航设施有一定影响；常年低温使上空大气层温度达到零下60—70摄氏度，比常规航路上的大气温度低10—20摄氏度，使用普通航空燃油也可能造成一定影响。极地磁场的变化、地面导航设备的稀少也会对通讯造成干扰
越北极开通北京—纽约—北京的往返直飞航班，在我国航空公司还是首次。20年前国航就开通了北京飞纽约的航班，1998年国航与美西北航实行代码共享后，航线由美西北航执行。从9月27日起，由国航继续飞这条航线。这对于国航连接北美、包括加拿大有关地区到中国北京的航路，为广大中外旅客提供方便快捷的空中通道，具有十分重要的意义。经北极航路直飞纽约，为旅客提供了多方面的便利。1981年1月，国航开通的跨太平洋经停旧金山到纽约航线，以及后来经停安克雷奇到纽约的航班，旅途都长达17个小时。此次国航将要开通的北极航线，北京—纽约，纽约至北京，单程仅需13小时，比过去减少了3个多小时的飞行时间。由于北京至纽约航线是直飞，免除了过去中途经停的诸多不便，减轻了旅客旅途的劳顿，给人以一登飞机，就将要到家的感觉。北极上空气流平缓，颠簸较少，也提高了旅客乘机的舒适度。另外，这条航线飞机较少，不存在其他航路空中通道拥挤的状况，同时也为航空公司节省了燃油，降低了飞行成本。
国航经由北极航路执行正式航班，在国内航空公司中还属首家。北纬78度以北为北极飞行区域，由于气候寒冷，过去曾被视为飞行禁区。随着科学技术的发展，现在飞越北极已不再危险，目前世界上有20多家航空公司经营着北极航线，每周有40有多个航班在北极上空穿梭。这条航路，多年来已经成为连接欧亚、美亚大陆的快捷空中通道。国航北极航路直飞纽约验证飞行的成功，表明国航有能力完成由北极航路直航纽约的飞行任务，展示了国航在飞行技术、运行管理、安全保障等方面的新水平，对国航成长和发展来说是一个重要的里程碑。
北京航空航天大学飞行力学专家方振平教授认为：从经济角度讲，因为成本的降低和航线的选择有直接关系，极地飞行缩短了航程，节约燃油费用和起降费用，大大提高了效益降低了成本。将来每位乘客的机票价都可能降下来，对航空公司来说，极地航线的开辟，将提高中国民航在国际上的价格竞争力。从安全角度讲，航程的缩短应该能提高安全系数，过去去美国我们要跨越太平洋，一方面是远，另一方面气流也大，而极地飞行与之相比应该更安全，因为极地飞行能减少高空风的影响。从技术角度讲，极地飞行克服了北极强烈地磁影响，跨越了一个技术门槛，是中国民航史上的一个里程碑。最后还要指出，这条航线因为是直飞，不必转机，比过去方便了不少。应该说当极地飞行成为中国民航的普通航线后，中美之间有了一条既安全又便捷又经济的通道。
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二 飞越北极
1 论文摘要
本文将“飞行时间节约4小时”的问题，在飞行速度恒定的条件下，转化为计算飞机航程的问题。通过采用计算机模型绘出的飞机飞行航线，建立了两个数学模型;并且通过对模型的分析，采用MATLAB 编程计算球面距离。对于模型1 ，采用立体几何知识求球面距离的方法，得出从北京直接到底特律的时间为10.18734h ，而按飞机的原航线则至少需14.17793h ，所以至少节省时间为3.19059h。对于模型2 ，采用参数方程得出纬度与经度之间的函数关系，然后用积分方法求得球面距离，最后求出节省时间为4.12891h。 因此，通过对飞行航线和球体的分析可证明“飞越北极，可节省时间为4 小时”的命题。
关键词：数学模型；球面距离；时间
2 问题重述与分析
2000年6月，扬子晚报发布消息：\中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时\，摘要如下：
7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。
假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：
A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)； A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度); A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)； A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)； A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。
请对\北京至底特律的飞行时间可节省4小时\从数学上作出一个合理 的解释，分两种情况讨论： （1） 设地球是半径为6371千米的球体；
（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。
分析：根据飞行时间( T) =
飞行路程（s），V 是已知恒定的，所以T 主要取决于S ，于是问题的关
飞行速度（v）键在于如何求得S。
飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离，所以原航线的路程就是每两个路经之地
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的球面距离之和，新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。
3 假设与模型
3.1模型的假设
1.不考虑地球的自传。
2.飞机每经相邻两地的航程，均以曲面上两点间最短距离进行计算。 3.飞机飞行中途不需降落加油，同时忽略升降时间。 4.开辟新航线后，飞机由北京经过北极上空直飞底特律。
5.在整个飞行途中飞机未遭遇到任何障碍物，各地的天气情况均良好且稳定，空气气流对飞机的阻力不变。 6.飞机飞行的高度和速度大小相对于地球表面始终不变。 7.飞机的航向是正对目的地的，重力对飞机的影响处处相同。 8.飞机是直上直下的，按两地间的最优弧飞行。
3.2数据的说明
在以下计算中，北京是坐标用A0(40，116)，底特律的坐标用A11(43，83)，飞机原航线途中符号约定如下表所示。
表一
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α—纬度 α1 —圆O1 所在平面的纬度，即∠OBO1 α2 —圆O2 所在平面的纬度，即∠OA O2 θ—A、B 两地的经度差，即∠B O1C γ—A、B 对应的圆心角 T —飞机飞行L 所需时间 t′—飞机按原来航线至底特律所需时间 R —飞机到地心的距离 β—经度 r1 —O1 纬度圆的半径 r2 —O2 纬度圆的半径 L —A、D 对应的球面距离 V —飞机的飞行速度 t —飞机飞越北极至底特律所需时间 Δt —飞行节省时间 4 07500125 郭艳 数学模型与数学软件综合训练