第二类曲线积分的计算
作者：钟家伟 指导老师：张伟伟
摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，
参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。
关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分
1 引言
本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。
1.1 第二类曲线积分的概念
介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。
1.2第二类曲线积分的计算方法
介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。
2.1第二类曲线积分的物理学背景
力场F(x,y)??P(x,y) , Q(x,y)?沿平面曲线L从点A到点B所作的功
?一质点受变力F?x,y?的作用沿平面曲线L运动,当质点从L之一端点A移动到另一端B时,?求力F?x,y?所做功W.
??大家知道,如果质点受常力F的作用从A沿直线运动到B,那末这个常力F所做功为 ?W=F?AB. 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?
为此,我们对有向曲线L作分割T?{A0,A1,.....,An?1,An},即在AB内插入n?1个分点
M1,M2,.....,Mn?1,与A=M0,B?Mn一起把曲线分
成n个有向小曲线段 Mi?1Mi(i?1,2,?,n) ,记 小曲线段Mi?1Mi的弧长为?Si.则分割
T?{A0,A1,.....,An?1,An}的细度为T?max{?Si}.
1?i?n?设力F?x,y?在x轴和y轴方向上的投影分别为P(x,y)
?与Q(x,y),那么F?x,y?=
?P(x,y),Q(x,y)????P(x,y)i?Q(x,y)j由于
Mi?1(xi?1,yi?1),Mi(xi,yi),则有向小曲线段Mi?1Mi(i?1,2,?,n)在x轴和y轴方向??上的投影分别为?xi?xi?xi?1与?yi?yi?yi?1.记LMi?1Mi=(?xi,?yi)从而力F?x,y?在
??小曲线段Mi?1Mi上所作的功Wi?F(?,?i)?LMi?1Mi= P??i,?i??xi+Q??i,?i??yi
其中(?i,?j)为小曲线段Mi?1Mi上任一点,于是力F?x,y?沿L所作的功可近似等于
?Wi=?Wi??P(Si,?i)?xi??Q(si,?i)?yi当T?0时,右端积分和式的极限就是所
i?1i?1i?1nnn求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.
2.2 第二型曲线积分的定义
设P(x,y),Q(x,y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线LAB上的函数,对LAB任一分割T,它把LAB分成n个小弧段Mi?1Mi(i?1,2,?,n)；其中A=M0,B?Mn.记各个小弧段Mi?1Mi弧长为?si,分割T的细度为T?max{?Si},又设T的分点的坐标为
1?i?nMi(xi,yi),并记?xi?xi?xi?1,?yi?yi?yi?1 ,(i?1,2,?,n) .
在每个小弧段Mi?1Mi上任取一点??i,?i?,若极限
limT?0?P(?,?)?xiii?1ni?limT?0?Q(?,?)?yiii?1ni
存在且与分割T与点??i,?i?的取法无关,则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)在有向线段
LAB上的第二类曲线积分,记为
?P(x,y)dx?Q(x,y)dy或 ?P(x,y)dx?Q(x,y)dy
LAB也可记作
P(x,y)dx?Q(x,y)dy 或
LL??AB?P(x,y)dx??Q(x,y)dy
AB??注：(1) 若记F?x,y?=?P(x,y),Q(x,y)?,ds??dx,dy?则上述记号可写成向量形
??式:?F?ds.
L(2) 倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲
线L的第二类曲线积分,并记为
?LP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz
按照这一定义 , 有力场F(x,y)??P(x,y) , Q(x,y)?沿平面曲线L从点A到点B所作的功为W?有
?ABPdx?Qdy.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分
BA?AB???,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x轴上的线段时的特例.可类似地考
虑空间力场F(x,y,z)??P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)?沿空间曲线LAB所作的功. 为空间曲线LAB上的第二型曲线积分
?ABP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz.
2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念
设函数在平面P(x，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点
Mi(Xi,Yi)(i?0,1,2nin)将曲线L从起点A到B分为n个有向小弧的长度
n?(?i,?i)??li，
作和式
?P(?,?)?X(Xiiii?Xi?1)。记
??max1?i?n??l?i，若极限
???lim?P(?i??i)?Xi?Ii?1存在，且对曲线L的分点及点 的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A到 B的方向沿曲线L对坐标x的曲线积分，记作的曲线积分 记作
xli?m?P(x,y)d??L??i?1n(?i,?i)P?i(??i?)iXL，其中P（x，y）称为被积函数，L称为被积路径，对
?P(x,y)dx坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。
类似的，设函数Q（x，y）在xy平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L（AB）上有定义且有界。若对于L的任意分法和
(?i,?i)的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值
???lim?Q(?i??i)?Yii?1n为函数Q（x，y）按从A到B的方向沿曲线L对坐标Y的曲线积分，
记作L?Q(x,y)dy
2. 2 第二类曲线积分的参数计算法
首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是
?lf(x,y)ds?lim?(?i,?i)2?si??0i?1n
第二类曲线积分就是
?P(?,?)?x?Q(?,?)?y?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?lim?l?0iiiiii?1ni （1）
这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的弧的弧长，
?si
，
?si
是一小段
?si
总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x,y坐标的增量
，
?xi?xi?xi?1,?yi?yi?yi?1而
?xi
与
?yi是可正可负的。当积分的路径反向时，
?si
不变，
?xi
，
?yi反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二
类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积
分，但两类曲线积分有些不同。 设曲线l的参数方程为
?x?x(t),??t???y?y(t),?
则第一类曲线积分的计算公式为
''??ds?dx2?dy2??x(t)dt?y???(t)dt??22?x'2(t)dt??'2(t)dtdt
dt?dt这里要注意???，即对t的定积分中，下限比上限小时才有dt?0，也就有，这
样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿l上的点由A变到B，即t的下限?对应曲线积分的起点A，他的上限?对应曲线积分的起点A，t的上限?对应终点B。 在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为
?x?a(t?sint),0?t?2??y?a(t?cost), ?
y?ax?b，有些较简单的曲线可取x或y为参数，即可由直角坐标方程。 例如，直线
取可由直角坐标方程得出参数方程。例如，直角y?ax?b，取x为参数，参数方程即为
?x?x,???x?????y?ax?b,
又如，抛物线y?x，取y为参数，参数方程为
?x?y2,0?y?????y?y,
例1 设l为以O(0,0),A(1,0),B(0,0)为顶点的三角形边界，计算
22(x?y)ds?l（1）
（2）
2222(x?y)dx?(x?y)dy?l，沿逆时针方向。
解：（1）这是第一类曲线积分。
?(x?y)ds??(x?y)ds??l22OA22AB(x2?y2)ds??(x2?y2)dsOB
线段OA的参数方程为
?x?x,0?x?1??y?0,
?OA(x2?y2)ds??x2dx?0113
线段AB的参数方程为
?x?x,0?x?1??y?1?x,