第七章 重积分作业参考解答
习题7.1 4.（1）
解答：在积分区域D内，
?1?x?y?2，?ln(x?y)?1,[ln(x?y)]2?ln(x?y)，
故
5.（1） 解答：?2>ln(x?y)d?[ln(x?y)]d? ????DD?4?x2?y2?3?， 43?2?2?2222?? ??sin(x?y)?1，圆环积分区域的面积为S?442222?222故 ????sin(x?y)d??42D5.（3）
解答：?0?x?4,0?y?8，
?ln4?ln(4?x?y)?ln16，积分区域的面积为S?4?8?32
故 32?111 ???d??32?ln16Dln(4?x?y)ln4即
习题7.2
8116 ???d??ln2Dln(4?x?y)ln2x22y1.（2）解答：原式=?dy?xedx=?edy?xdx=?e[]?ydy
11?y1?y232yy33y32y3y33311333y2dy??eydy3?[ey]1 ??e
112223y3?1.（3）解答：原式=
127(e?e) 2?dy?011yx3?1dx
变化积分次序为：原式= =
?dx?01x20x3?1dy
?10x3?1?x2dx
1133=?x?1d(x?1) 301231=?[(x?1)2]0 33=
342?2 9xy22.（2）解答：积分区域如图1，
原式=
?dx?xye0011dy
1.4111xy22=?dx?ed(xy) 20011x =?(e?1)dx
201x1 =(e?x)0
21 =(e?2)
22.（4）解答：积分区域如图2：
交点为（1，1），（-1，-1），积分区域看做Y型：
1.51.00.51.21.00.80.60.40.20.00.00.20.40.60.81.01.21.4图 1 ?1?y?1,y2?x?3?2y2
原式=
?11?1dy?2y3?2y2(y?y)dx 0.51.01.520.51.01.52.02.53.03.5图 2
= =
??11?2y(y2?y)[x]3dy y22??1(y2?y)(3?3y2)dy=?(3y2?3y4?3y?3y3)dy
?11=[y?33532341y?y?y]?1 524764= 52.（6）解答：积分区域如图3： 交点为（2，4），积分区域看做Y型：
540?y?4,原式=
y?x?6?y 232?40dy?y6?yyexdx
12001234567图 3
=
?40y[e]x6?yy2dy=?y[e046?y?e]dy=?(eye0y246?y?ye]dy=e6?9e2?4
y23.（1）解答：积分区域如图4， 原式=
3.（4）解答：积分区域如图5 原式=
图 4
1?10dy?f(x,y)dx
y1?10dx?x2f(x,y)dx??dx?x2f(x,y)dx
212x22
图 5
3.（5）解答：积分区域如图6 原式 =
图 6
1?1?y2?dy?010f(x,y)dx??dy?014?y21?1?y2f(x,y)dx??dy?124?y20f(x,y)dx
228.（2）解答：积分区域{(x,y)1?x?y?4}关于y轴对称，而sin(xy2)是x的奇函数，
y的偶函数，故
??sin(xy)d??0
D210.（1）解答：积分区域如图7
??f(x,y)dxdy??D2?0d??f(rcos?,rsin?)rdr
0a图 7
图 8
?10.（3）解答：积分区域如图8，
??f(x,y)dxdy??D20d???31cos??sin?01cos?0f(rcos?,rsin?)rdr
f(rcos?,rsin?)rdr
11.（2）解答：积分区域如图9，
?dx?013xxf(x,y)dy???d??4
图 9
图 10
?
11.（3）解答：积分区域如图10，
?10dx?1?x21?xf(x,y)dy?22?20d??11cos??sin?f(r2)rdr
12.（3）解答：积分区域如图11，
0.7?220dy?1?y2yyarctandx??04d??0arctantan??rdr
x1?0.60.50.40.30.20.10.00.00.20.40.60.81.01.2图 11
? =
?40d????rdr=??d??0401?10?2rdr=
641.41.213.（2）解答：积分区域如图12
1.00.81d??22??4?x?yD??401d???rdr
04?r220.60.40.20.00.00.51.01.52.0?21??141222??[ln(4?r)]ln2 dr = ?d??==004?r224820?1图 12
13.（3）解答：积分区域如图13，
??ln(1?x?y)d??D22?20d??ln(1?r2)rdr
0?11?2ln2?1122212122? = ?d??ln(1?r)dr=??{[(r?1)ln(1?r)]0?(1?r)0}=
022420图 13
1ex图 14
11x?x1x?x(e?e)?e??2 ==(e?e)dxdxdy0?0?e?x?0e14.（1）解答：积分区域如图14， 原式=
14.（3）解答：积分区域如图15，原式=
?0?1dy??1?y2y?1y2y301dx=?(?y?y)dy=(??)?1=
?162302
图 15
15.（2）解答：积分区域如图16 原式=
?1?1dx?2?x22?2?x((10?3x2?3y2)?4)dy
图 16
=
?2?0d??(6?3r2)rdr=?d??(6r?3r3)dr
000222?2=2??(3r?342r)0=6? 416.（2）解答：由题意知积分闭区域在极坐标系上变量范围为0????,1?r?1?sin?,故 原式=
??D1x2?y2d??
??0d??1?sin?1r21?rdr=?sin?d?=2
0?16.（3）解答：积分区域如图17，利用极坐标系知变量范围为0???
?2,0?r?1,