0n1n?1rn?rrnn1．二项式定理： (a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，
2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。
r②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r?0,1,2,???,n).
③项数：共(n?1)项，是关于a与b的齐次多项式
rn?rrrn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cnab叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cnab表示。
3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)与(b?a)是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和
等于n. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数
是a与b的系数（包括二项式系数）。
0122rrnn4．常用的结论：令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn令a?1,b??x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)
nn012rn5．性质：
0nkk?1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn，···Cn ?Cn?Cn012rn②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n， 12rn 变形式Cn?Cn???Cn???Cn?2n?1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
0123n在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn?(1?1)n?0，
0242r132r?1从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????1n?2?2n?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0n01n?12n?22n0n(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0令x?1, 则a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n?????????①令x??1,则a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n①?②得,a0?a2?a4??an?(奇数项的系数和)2(a?1)n?(a?1)n①?②得,a1?a3?a5??an?(偶数项的系数和)2⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cnn?12nn2n
,Cn?12同时取得最大值。 n⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为A1,A2,???,An?1，设第r?1项系数最大，应有??Ar?1?Ar，从而解出r来。
?Ar?1?Ar?2高考试题中常见的二项式定理题目类型：
题型一：二项式定理的逆用；
123n1：Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1? .
0123n解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63???Cn?6n与已知的有一些差距，
123n?Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?112n(Cn?6?Cn?62???Cn?6n) 6101112n ?(Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)
666123n练：Cn?3Cn?9Cn???3n?1Cn? . 123n解：设Sn?Cn，则?3Cn?9Cn???3n?1Cn12233nn012233nn3Sn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?1?(1?3)n?1(1?3)n?14n?1 ?Sn??33题型二：求单一二项式指定幂的系数
2（2010重庆）(x?1)的展开式中x2的系数为 （A）4 （B）6 （C）10 （D）20
2解析：由通项公式得T3?C2x?6x 44
?x2???2?x???的二项展开式中，x2的系数为 3（2011天津）在?151533?? A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】C
61??x???3x??的展开式中含x15的项的系数为 （结果用数值表示）4（2011湖北）【答
案】17
5（2011全国）（1—x）20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: ．【答案】0
21221(x?1)?a?ax?ax???ax012216（安徽理12）设，则a???a??? .【答案】0
187（2009北京卷文）若(1?2)4?a?b2(a,b为有理数），则a?b? （ ）
A．33 B． 29 C．23 D．19
【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵1?2??4?C04?2?0?C14?2??C?2?1242?C34?2?3?C44?2?
4 ?1?42?12?82?4?17?122，
由已知，得17?122?a?b2，∴a?b?17?12?29.故选B. 8（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则b= .
r【解析】因为Tr?1?C5?(ax)r∴C51?a1?10 C32?a2?b.解得a?2,b?40
379（2009全国卷Ⅰ文）(x?y)的展开式中，xy的系数与xy的系数之和等于_____________.
r373解: 因Tr?1?(?1)rC10x10?ryr所以有?C10?(?C10)??2C10??2401073
10(2009湖南卷理)在(1?x)3?(1?【解析】由条件易知(1?x)3,(1?x)2?(1?3x)的展开式中，x的系数为___7__(用数字作答)
23x)3,(1?3x)3展开式中x项的系数分别是C13,C3,C3，即所求系数是
3?3?1??7
11（2009陕西卷文）若(1?2x)2009?a0?a1x???a2009x2009(x?R),则（A）2
（B）0
（C）?1
aa1a2的值为?2???20092222009 (D) ?2解析:由题意容易发现a112008?C2009(?2)1??2?2009 , a2008?C2009(?2)2008?(?2)2008?2009,则 aa3a2006a1a1a2008a2a2007, 同理可以得出,??2009,2008?2009,即+=0+=0+=0………
222008222008222200723220062009(?2)2009a2009a2009C2009a1a2??1 故选C. 亦即前2008项和为0, 则原式=?2???2009=2009?222009222题型三：求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
2??x?x??x?的展开式中，x4的系数是 （用数字作答） 12（广东理10）?【答案】84
7a1(x?)(2x?)5xx的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 13（2011全国）
（A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40 【答案】D 14（2010全国卷1文数）(5)(1?x)4(1?x)3的展开式x2的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.
13??【解析】(1?x)(1?x)??1?4x?6x?4x?x??1?3x2?3x?x2? x2的系数是 -12+6=-6
??4323415（2010全国卷1）(5)(1?2x)3(1?3x)5的展开式中x的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
题型四：求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 16（04安徽改编）(x?1?2)3的展开式中，常数项是 ； x1(x?1)23(x?1)63解：(x??2)?[ ]?3xxxC上述式子展开后常数项只有一项
n36x3(?1)3x3，即?20
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，
17（2009江西卷理）(1?ax?by)展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为
A．a?2,b??1,n?5 B．a??2,b??1,n?6 C．a??1,b?2,n?6 D．a?1,b?2,n?5n5n5【解析】(1?b)?243?3，(1?a)?32?2，则可取a?1,b?2,n?5，选D 题型五：求中间项
18．（00北京）求（x?13x)10的展开式的中间项； 1x1x56解：?Tr?1?Cr10(x)10?r(?3n)r,?展开式的中间项为C10(x)5(?35)5 即：?252x。
当n为奇数时，(a?b)的展开式的中间项是
当n为偶数时，(a?b)的展开式的中间项是题型六：利用通项公式求常数项；
nCn2n?12nan?12bn?12和
Cn?12nan?12bn?12；
Cn2nab
n2a1(x?)(2x?)5xx的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 19（2011全国8）
（A）—40 （B）—20 （C）20 （D）40 【答案】D
x?x6(4?2)（x∈R）展开式中的常数项是 20（2011陕西4）
A．-20 B．－15 C．15 D．20 【答案】C
21（2011山东）若
(x?ax2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为 . 【答案】4
a22（2011浙江）设二项式（x-x）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，
若B=4A，则a的值是 。【答案】2 题型七：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 23（00北京）求(x?13x)10的展开式中有理项共有 项；
1x4r3解：?Tr?1?Cr10(r)10?r(?3)?C10(?1)xrrr10?
?当r?0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；
② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无
理式。
题型八：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
24（2010江西理数）6. 2??4x展开式中不含．．x项的系数的和为（ ）
?8A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋
80值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C82(?1)8?1即为所求，答案为0.
25（99全国）若(2x?3)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x，
4234