（3）刚体绕固定轴转动的微分方程 Jz??Mz (e)d?(e) Jz?Mzdt或d2?(e) Jz2?Mz
dt4．刚体平面运动微分方程
?C??X(e),M ?x?C??Yy M ?(e),
?? ??mC(F(e));JC ?5．动量矩定理的应用
在应用动量矩定理时，应注意以下几点： （1）正确计算质点系的动量矩；
（2）质点系动量矩的变化率与外力矩有关。所以，在分析问题时要明确研究对象，分清内力与外力；
（3）当对固定点的外力矩为零时，质点系对该点的动量矩守恒。即 MO(e)?0 时， LO?常矢量
或对某轴（如z 轴）的外力矩为零时，质点系对该轴的动量矩守恒。即
Mz(e)?0 时， Lz?常数
[ [例] 两质量各为8 kg的均质杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA 处于水平位置时, T 形杆具有角速度?=4rad/s 。求该瞬时轴承O 的反力。 解：
① 选T 字型杆为研究对象； ② 受力分析如图示；
③ 运动分析：刚体绕O 轴转动； ④ 根据定轴转动微分方程求解：
JO??mg?0.25?mg?0.5
JO?12117ml?ml2?ml2?ml2 3121217?8?0.52???8?9.8?0.25?8?9.8?0.512
??20.75rads2??再根据质心运动定理有： ?
(2m)?aCy??YO?2mg??运动学补充方程：
(2m)?aCx??XOaCx?aCn?OC??2aCy?aC??OC??
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解得：
XO??2m aCx??2?8? 0.375?42??96 NYO?2mg?2maCy?2?8?9.8?2?8 ?0.375?20.75 ?32.3 N
第13章．动能定理
1.质点系动能的计算
质点的动能 ：T?12mv 21miv2 2质点系的动能等于质点系内各质点动能的总和，即 T??（2）刚体动能的计算 平动刚体： T?1Mvc2 21定轴转动刚体： T?JZ?2
21112平面运动刚体： T?JP?2?Mvc?Jc?2
222JZ;Jc;JP分别为刚体对固定轴，质心轴和瞬心轴的转动惯量。
2. 力的功的计算
作用在质点系上的力通常为变力，变力的元功为
?W?F.ds
力在有限路程上的功为
或
如（1）重力在有限路程上的功为
即决定于轨迹两端的高度差，而与轨迹形状无关。 （2）弹性恢复力在有限路程上的功为
其中为弹簧刚度系数，弹性恢复力的功仅决定于质点在轨迹两端时弹簧的变形，而与轨迹形
状无关。
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3. 动能定理
微分形式的动能定理：dT???W
积分形式的动能定理：T2?T1??W
动能定理给出了质点系在运动过程中速度与位置的关系。具有理想约束的一个自由度系统，利用动能定理就可以决定质点系在已知主动力作用下的运动规律。
4. 机械能守恒
在理想约束的情况下，若作用在系统上的主动力有势,则系统的机械能守恒，即
应用机械能守恒定律可得到系统运动微分方程的初积分。
常见势力的势能， （1）重力势能
式中由零势面铅垂向上为正。 （2）弹性恢复力势能
式中为弹簧的变形量。以弹簧原长处为势能零点。
5. 普遍定理的综合应用
普遍定理提供了解决质点系动力学问题的一般方法。在许多较为复杂的问题中，往往需要联合应用几个普遍定理以求得问题的解答。例如时常遇到这样一种类型的问题：已知作用于系统上的主动力，需求系统的运动及未知约束力。这时应首先根据系统中各物体的运动情况及系统所受力的特点，考虑应用哪一个普遍定理可以建立已知的主动力和运动的关系，在理想约束的情形下，应用动能定理常常可以做到这点。由反映这些关系的方程求得系统的运动后，再应用相应的普遍定理，通常是应用动量定理或动量矩定理，以求出未知的约束力。
[例] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)
解：① 取系统为研究对象；
② 计算主动力的功；
?W(F)?m??Qh (??h/R)
③ 运动分析计算动能；
T1?0
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T2?11Q211P221Q213P2222JO?A? v?JC??B??R?A?v??R?B22g222g2g22gv2?(8Q?7P)16g④ 根据动能定理求解：
由T2?T1??W(F)
(M/R?Q)hgv2M (8Q?7P)?0?(?Q)h ? v?416gR8Q?7P上式求导得：
8Q?7PdvMdhdh?2v?(?Q) (v?)
16gdtRdtdta?8(M/R?Q)g
8Q?7P综合－9：已知均质曲柄OA长为L，质量为m1，力偶矩M为常数；滑块A光滑，质量不计；框架质量为m2，质心在C点，框架与滑道间的摩擦系数为f，当曲柄与水平线夹角为?0时，系统由静止开始运动。求：曲柄转过一周时的角速度。
例13-9、综合－13、综合－14
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第14章．达朗伯尔原理
刚体作平动、定轴转动、平面运动时惯性力与惯性矩的施加。 补充题：
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