【例题3-2】钢筋混凝土四层框架计算简图如图3-13所示，层高均为4m，重力荷载代表值G1＝450kN，G2＝G3＝440kN，G4＝380kN。体系的前三阶自振周期为：T1＝0.383s，T2＝0.154s，T3＝0.102s。体系的前三阶振型见图3-13。结构阻尼比ξ＝0.05，Ⅰ类建筑场地，设计地震分组第一组，抗震设防烈度为8度(设计基本地震加速度0.20s)。试按振型分解反应谱法和底部剪力法分别确定该结构在多遇地震时的最大底部剪力。
(a)体系简图 (b)第一振型 (c)第二振型 (d)第三振型
图3-13 例题3-2图
【解】1.振型分解反应谱法 (1)计算地震影响系数
由表3.2查得，抗震设防烈度为8度(设计基本地震加速度为0.20s)，在多遇地震时，αmax＝0.16；由表3.3查得，Ⅰ类建筑场地，设计地震分组为第一组时，Tg＝0.25s。
当阻尼比ξ＝0.05时，由式(3-32)和式(3-33)得γ＝0.9，η2＝1.0。
?Tg 因Tg＜T1≤5Tg，故?1???T?(2)计算振型参与系数
??0.25??????2max?0.383??1.0?0.16?0.109
????0.90.1s≤T2，T3≤Tg，故α2＝α3＝η2αmax＝0.16。
?1??mXin1i?mXii?1i?1n?21i450?0.238?440?(0.508?0.782)?380?1＝1.338
450?0.2382?440?(0.5082?0.7822)?380?12同理，可计算得γ2＝-0.462，γ3＝0.131 (3)计算水平地震作用标准值 第一振型时各质点地震作用F1i：
F11＝α1γ1X11G1＝0.109×1.338×0.238×450＝15.62kN F12＝α1γ1X12G2＝0.109×1.338×0.508×440＝32.60kN F13＝α1γ1X13G3＝0.109×1.338×0.782×440＝50.18kN F14＝α1γ1X14G4＝0.109×1.338×1.0×380＝55.42kN 第二振型时各质点地震作用F2i：
F21＝α2γ2X21G1＝0.16×(-0.462)×(-0.605)×450＝20.12kN F22＝α2γ2X22G2＝0.16×(-0.462)×(-0.895)×440＝29.11kN F23＝α2γ2X23G3＝0.16×(-0.462)×(-0.349)×440＝11.35kN F24＝α2γ2X24G4＝0.16×(-0.462)×1.0×380＝-28.09kN 第三振型时各质点地震作用F3i：
F31＝α3γ3X31G1＝0.16×0.131×1.542×450＝14.54kN F32＝α3γ3X32G2＝0.16×0.131×0.756×440＝6.97kN
F33＝α3γ3X33G3＝0.16×0.131×(-2.108)×440＝-19.44kN F34＝α3γ3X34G4＝0.16×0.131×1.0×380＝7.96kN
(4)计算各振型水平地震作用下的底部剪力 V11＝F11＋F12＋F13＋F14＝153.82kN V21＝F21＋F22＋F23＋F24＝31.49kN V31＝F31＋F32＋F33＋F34＝10.03kN (5)通过振型组合求结构的最大底部剪力
V1?153.822?31.492?10.032＝157.33kN
若只取前两阶振型反应进行组合，则
V1?153.822?31.492＝157.01kN
只取一个振型：153.82/157.33=97.77% 只取两个振型：157.01/157.33=99.80% 补充：
二层剪力：
V12＝F12＋F13＋F14＝138.2kN V22＝F22＋F23＋F24＝12.37kN V32＝F32＋F33＋F34＝-4.51kN 通过振型组合求结构的最大二层剪力
V2?138.22?12.372?(?4.51)2＝138.83kN
若只取前两阶振型反应进行组合，则
V1?138.22?12.372＝138.75kN
只取一个振型：138.2/138.83=99.55% 只取两个振型：138.75/138.83=99.84%
三层剪力：
V13＝F13＋F14＝105.6kN V23＝F23＋F24＝-16.74kN V33＝F33＋F34＝-11.48kN
通过振型组合求结构的最大底部剪力
V2?105.62?(?16.74)2?(?11.48)2＝107.53kN
若只取前两阶振型反应进行组合，则
V1?105.62?(?16.74)2＝106.92kN
只取一个振型：105.6/107.53=98.21% 只取两个振型：106.92/107.53=99.43%
四层剪力：
V14＝F14＝55.42kN V24＝F24＝-28.09kN V34＝F34＝7.96kN
通过振型组合求结构的最大底部剪力
V2?55.422?(?28.09)2?(7.96)2＝62.64kN
若只取前两阶振型反应进行组合，则
V1?55.422?(?28.09)2＝62.13kN
只取一个振型：55.42/62.64=88.47% 只取两个振型：62.13/62.64=99.19% 2.底部剪力法
(1)计算地震影响系数 由前可知，α1＝0.109 (2)计算结构等效总重力荷载
Geq?0.85?Gi＝0.85×(450＋440＋440＋380)＝1453.5kN
i?1n (3)计算底部剪力
FEk??1Geq＝0.109×1453.5＝158.43kN
(4)计算各质点的水平地震作用。
因T1＝0.383s＞1.4Tg＝0.35s，所以需要考虑顶部附加地震作用。由表3-5得：
δn＝0.08T1＋0.07＝0.101
则： ΔFn＝δnFEk＝0.101×158.43＝16.0kN
(1－δn)FEk＝(1-0.101)×158.43＝142.43(kN)
又已知H1＝4m，H2＝8m，H3＝12m，H4＝16m，
n?GHjj?1j?(450?4?440?8?440?12?380?16)?16680kN?m
则作用在结构各楼层上的水平地震作用为：
F4?G4H4?GHjj?1n(1??n)FEk?j380?16?142.43?51.92kN
16680F3?G3H3?GHjj?1n(1??n)FEk?j440?12?142.43?45.09kN
16680F2?G2H2?GHjj?1n(1??n)FEk?j440?8?142.43?30.06kN
16680F1?G1H1?GHjj?1n(1??n)FEk?j450?4?142.43?15.37kN
16680则结构各楼层上的水平地震剪力为：
V4＝F4＋ΔF n＝51.92＋16.0＝67.92kN V3＝F3＋V 4＝67.92＋45.09＝113.01kN V2＝F2＋V 3＝113.01＋30.06＝143.07kN V1＝F1＋V 2＝143.07＋15.37＝158.44kN 或者用表格计算如下：
由公式(3-79)和(3-77)计算各层地震作用和地震剪力，计算结果列于表3-7。
表3-7 底部剪力法计算结果 层数 4 3 2 1 Gi /kN 380 440 440 450 Hi /m 16 12 8 4 Gi Hi / kN·m 6080 5280 3520 1800 16680 142.43 ∑Gi Hi / kN·m (1－δn)FEk /kN F i /kN 51.92 45.09 30.06 15.37 16.0 ΔF n /kN Vi /kN 67.92 113.01 143.07 158.44 可见，底部剪力法的计算结果与振型分解反应谱法的计算结果是很接近的。
【例题3-3】试求图3-18所示两层框架的基本周期。质点重力荷载G1、G2集中在楼层处。G1＝400kN，G2＝300kN，层间侧移刚度K1＝14280kN/m，K2＝10720kN/m。
【解】1.能量法(图3-18a) (1)计算各层层间剪力：
首层层间剪力：V1＝400＋300＝700kN；二层层间剪力：V2＝300kN。 (2)计算各层楼层处的水平位移ui：
第一层：u1＝V1/ K1＝700/14280＝0.049m；
第二层：u2＝u1＋V2/ K2＝0.049＋300/10720＝0.077m。 (3)计算基本周期：由式(3-102)得：
400?0.0492?300?0.0772＝0.507s T1?2?Gu/?Giui＝2
400?0.049?300?0.077i?1i?1n2iin2.折算质量法(图3-18b)
(1)计算各层在单位力F＝1作用下的侧移：
3-8
x1＝F/K1＝1/(14280×10)＝7.00×10m/N；
x2＝x1＋F/K2＝7.00×10＋1/(10720×10)＝16.33×10m/N；
-8
xm＝δ＝x2＝16.33×10m/N。
-8
3
-8
(2)计算折算质量Meq：
Meq400?(7.00?10?8)2?300?(16.33?10?8)23?10??mx/x?＝38112kg ?829.80?(16.33?10)i?1n2ii2m(3)计算体系的基本周期
T1?2?Meq???2?38112?16.33?10?8＝0.495s
3.顶点位移法
由能量法已经求得在重力荷载当作水平荷载作用下的顶点位移为uT＝0.077m，且本例为剪切型结构，由式(3-115)计算结构基本周期为：
T1?1.8uT＝1.80.077＝0.499s
(a) (b)
图3-18 例题3-3图
(a)能量法；(b)折算质量法
1.已知某两质点弹性体系如图3-21，层间刚度k1＝k2＝21600kN/m，质点质量为m1＝m2＝60×10kg，试求该体系的自振周期和振型。
2.单自由度体系，结构自振周期T＝0.496s，质点质量G＝260kN，位于抗震设防烈度为8度的Ⅰ类场地上，设计基本地震加速度为0.30g，设计地震分组为第一组，试计算该结构在多遇地震时的水平地震作用。
3
习题1图 习题3图
3.三层框架结构如图3-22所示，横梁刚度为无穷大，位于抗震设防烈度为8度的Ⅱ类场地上，该地区设计基本地震加速度为0.30s，设计地震分组为第一组，结构各层的层间侧移刚度及质量如图所示，结构的自振周期分别为T1＝0.467s，T2＝0.208s，T3＝0.134s，各振型为：
?X13??1.000??X23??1.000??X33??1.000??????????????X12???0.667?,?X22????0.666?,?X32????3.035? ?X??0.334??X???0.667??X??4.019??11????21????31???分别用振型分解反应谱法和底部剪力法计算该结构在多遇地震作用下的各层层间地震剪力。
并求出框架的顶点侧移。 层高取以下两种：
1）一层6.5m，二层6.0m，三层5m； 2）一层、二层、三层均为4m。
4.试用底部剪力法计算下图所示三质点体系在多遇地震下的各层地震剪力。已知设计基本地
333
震加速度为0.2g，三类场地第一组，m1=116.62×10kg，m2=110.85×10kg，m3=59.45×10kg，T1=0.716s，δn=0.063。
习题4图
5.试计算图所示六层框架的基本周期，已知各楼层的重力荷载为：
G1=10360kN, G2=G3=G4=G5=9330kN, G6=6950kN, 各层层间侧移刚度为：
K1=583982kN/m， k2=k3=583572kN/m, k4=k5=474124kN/m, k6=454496kN/m。 分别用能量法、折算质量法（折算到每一个质点处）、顶点位移法计算。
习题5图