数列通项公式的求法之构造构造辅助数列
1、递推公式满足an?1①当g(n)为常数
思路：利用待定系数法，将an?1?c?an?g?n?型
?can?d化为an?1?x?c?an?x?的形式，从而构造新数列
（待定系数法，构造等比数列） ?an?x?是以a1?x为首项，以c为公比的等比数列。 例1：数列
?an?满足an?1?2an?1，a1?2，求数列?an?的通项公式。
解： 故由an?1?2an?1,得an?1?1?2(an?1)，即
an?1?1?2，得新数列?an?1?是以
an?1
a1?1?2?1?1为首项，以2为公比的等比数列，?an?1?2n?1，即通项an?2n?1?1。
②当g(n)为类一次函数
思路：利用待定系数法，构造数列 例2：已知数列{an}满足an?1 设an?1?an?kn?b?，使其为等比数列；
?2an?(2n?1)，且a1?2，求数列?an?的通项公式。
?k(n?1)?b?2(an?kn?b)，解得k?2,b?1，求得an?5?2n?1?2n?1。
③当g(n)为类指数函数
思路：观察g(n)的形式，如果g(n)的底数与an的系数c相同时，则把an?1 同时除以cn?1?c?an?g?n?两边
，从而构造出一个等差数列；如果g(n)的底数与an的系数c不相同时，可以利用待
定系数法构造一个等比数列，其具体构造方法有两种，详见例4题。
例3：已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。
解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得
an?1an3an?1an3，则???n?， n?1nn?1222222故数列?an33?an?是以1为首项，以为公差的等差数列，得， ?1?(n?1)?nn222?2?
所以数列{an}的通项公式为an 例4：已知数列
31?(n?)2n。
22，求数列?an?的通项公式。 ?an?满足a1?1，an?1?3an?2n（n?N?）
解法1：设an?1?x?2n?1?3(an?x?2n)?x?1?{an?2n}G.P.从而an?3n?2n。
解法2：由an?1?3an?2n知
an?13an1an33，令bn?，则bn?1?bn b1? ????1222n?122n22n ∴bn3?()n，从而an?3n?2n。
2 例5：在数列
?an?中，a1??1,an?1?2an?4?3n?1,求数列?an?的通项公式。
???3n?2(an???3n?1)，
解：原递推式可化为：an?1 比较系数得? 则数列{an ∴an??4，①式即是：an?1?4?3n?2(an?4?3n?1)。
?4?3n?1}是一个等比数列，其首项a1?4?31?1??5，公比是2。
?4?3n?1??5?2n?1，即an?4?3n?1?5?2n?1。
补充练习：
1、已知数列{an}满足a1?1，an?1?2an?1，求数列{an}的通项公式。
解：
an?1?2an?1(n?N*),?an?1?1?2(an?1),
??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。
n*?an?1?2n.，即an?2?1(n?N)。
2、已知数列{an}中，a1解：在an?1令bn11?1，an?1?an?()n?1，求数列{an}的通项公式。
2211?an?()n?1两边乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1 22bnn11n??。 ??nnn222?1，所以an??2n?an，则bn?1?bn?1，解之得：bn?b1?n?1?n?3、已知
a1?1，当n?2时，
an?1an?1?2n?12，求数列{an}的通项公式。
11111an?An?B?[an?1?A(n?1)?B]an?an?1?An?A?B22222 解：设，
????????∴?1A?22?A??4111?A?B??1B?6a?4?6?3∴ {an?4n?6}是以3为首项，2为公22解得：? ∴ 113an?4n?6?3?()n?1an?n?1?4n?622比的等比数列；∴∴。
4、已知数列
?an?满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。
解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n).，比较系数得，an?1?5n?1?2(an?5n)，
则数列{an?5n}是以a1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，
故an?2n?1?5n。
5、已知数列
?an?满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。
x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，
2解：设an?1?比较系数得，an?1?3(n?1)?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)，
故数列{an?3n2?10n?18}为以a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数
?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。
列，因此an6、已知数列
?an?满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
注：若an?1?3an?2?3n?1，a?31时，则直接构造等差数列即可，但含常数1时则需累加。 中不含常数
解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3n?1，得
an?1an21???3n?13n33n?1，则
an?1an21，故???3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?n?3)?nnn?2n?233an?1an?1333?(a2a1a1?)?32313
212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?1333333
1(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n???1???331?3322?3n7、已知数列
，则an211??n?3n??3n?. 322?an?满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。
x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)，
n?1解：设.an?1?比较系数得，an?1?5?2?2?3(an?5?2n?2)，
故数列{an?5?2n?2}是以a1?5?21?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，
因此an?13?3n?1?5?2n?2。
8、在数列
?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)?2n,n?N*，其中??0。求数列?an?的
通项公式。 解：由an?1??an??n?1?(2??)?2n,n?N*，??0，
可得
an?1?n?1?2???????n?1?2??n????1， ????annnn?an?2??an?2???所以数列?n????是以0为首项，1为公差的等差数列，故????n?1，
??????????n??所以数列
?an?的通项公式为an?(n?1)?n?2n。
?ananban、an?1?、an?1?pan?1pan?qcan?d等型或其交叉相乘的整式形式
2、递推公式满足an?1思路：①递推公式满足an?1?1?an?型，取倒数，构造数列??，使其为等差数列。 pan?1a?n?型，构造数列?②递推公式满足an?1?anban型或an?1?pan?qcan?d?1????，使其为等比数列。 ?an?例6：已知数列
?an?中a1?1，an?1?an，由这个数列的第n项为（ C ）
2an?1A、2n?1 B、2n?1 C、
11 D、
2n?12n?1
例7：已知数列
?an?满足a1?1,an?1??1?an，求证：??是等差数列，并求?an?的通项公式。
3an?1?an?解：?an?1?an1111??3 ，???3，即
an?1an3an?1an?1an?1?11?数列??是首项为1，公差为3的等差数列；?。 ?3n?2,an?an3n?2?an?例8：在数列
?an?中，已知a1?2,an?1?2an，求数列?an?的通项公式。
an?1，
解：由a1?2,an?1?2an111可知，对n?N，an?0；???an?1an?122an即
1an?1??1?11111?1??，又a1?1,?。?数列?是首项为，公比为的?1???1???1?1???22a122?an??an?n?111?1?等比数列，??1????an2?2?补充练习：
?1??????2?n2n，? an?n。
2?11、已知数列
?an?中，其中a1?1，且当n?2时，an?an?1，求数列?an?的通项公式。
2an?1?1解：将an?an?1111??2，这说明{}是一个等差数列，首项是 两边取倒数得：
2an?1?1anan?1an111?1?(n?1)?2?2n?1，即an?。 ?1，公差为2，所以ana12n?12、已知数列an?1?an2an?1n,a1?1，求数列?an?的通项公式。
1。 2n?1解：
1an?112?1?2n?1?nn??2，即bn?1?bn?2，则bn?b1??1?2?2n?2n?1an1?2an?12n?1?an?n?12?an?an?3、数列
?an?中，
，
a1?2，求数列?an?的通项公式。
1解：
an?12n?1?an?n?12an1，∴
an?1?11?n?1an2