常熟理工学院毕业设计（论文）
单摆会在平衡位置震荡。阻尼力过大（过阻尼）则导致单摆恢复平衡时间加长。因而存在一个临界阻尼系数，使单摆稳定在平衡位置所需时间最短。
对静止的一级倒立摆模型进行受力分析（不考虑车轮与地面的滚动摩擦力），如图2-5所示。
mmgsin?l?mg
图2-5一级倒立摆模型受力分析图
由一级倒立摆模型静止时的受力分析可知，其回复力大小为：
F?mgsin? （式2-2）
静止的倒立摆之所以不能像单摆一样可以稳定在平衡位置，是因为在偏离平衡位置时所受回复力与其偏移方向相同，而不是相反，因此不能回复至平衡位置，而是加速偏离垂直位置直至倾倒。
经分析可知，要控制倒立摆使其能够与单摆一样能够回复至平衡位置并保持稳定有两种方案。一种是改变重力方向；另一种是在系统中增加另外一种力使合回复力与偏移方向相反。显然，只能通过第二种方法实现倒立摆的平衡，即在系统中额外增加一种力使合回复力与偏移方向相反。
根据牛顿第一运动定律（即惯性定律），任何一个物体在不受外力或受平衡力的作用时，总是保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有作用在其上面的外力迫使其改变这种状态为止。牛顿运动定律只在惯性参考系中成立。在非惯性参考系中，由于惯性的存在，物体会受惯性力。
通过控制倒立摆底部车轮，使其做加速运动。在此条件下再次分析倒立摆受力情况，如图2-6所示。
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?macos?mmgsin??lmg
图2-6 非惯性系中的倒立摆受力分析
由于车轮做加速运动，倒立摆会受额外的惯性力作用。假设车轮运动使倒立摆具有的加速度为α。选取地面为参考的惯性系，根据牛顿第二定律可知倒立摆受到的惯性力为：
Fg?macos? （式2-3）
这样，倒立摆所受到的合回复力为：
F?mgsin??macos? （式2-4）
在平衡控制系统中，可控偏移角θ较小，对其进行线性化。假设控制系统中车轮加速度α与偏移角θ成正比关系，比例系数为k1，则式2-4可变换为：
F?mg??mk1? （式2-5）
若比例系数k1>g（重力加速度），则倒立摆所受合回复力的方向即与偏移方向相反。这样，倒立摆便可以回复平衡位置，但是其调整时间过长。为提高倒立摆调整时间，需要加入阻尼力。增加的阻尼力与偏移角速度成正比，方向相反，因此式（2-5）可变为：
F?mg??mk1??mk2?? （式2-6）
这样车轮需要提供的加速度即为：
a?mk1??mk2?? （式2-7）
式中?为倾角，??为倾角速度，k1、k2为比例系数。由式2-7可知，只有当k1>g时，倒立摆才能稳定到垂直位置。k2为阻尼系数，合适的阻尼系数可以使倒立摆尽快回复至稳定位置。
2.3.2自平衡小车运动微分方程
已知自平衡车高度为l，质量为m，将其抽象为一级倒立摆，并将倒立摆至于可水平移动的小车上。假设其受外力干扰引起的车体角加速度为x(t)，沿垂直于车体方向进行受力分析如图2-7，可以得到自平衡车倾角与车轮移动加速度为a(t)以及外力干扰带来的加速
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度x(t)之间的运动方程。
m?x(t)mgl
a(t)图2-7 外力干扰条件下的小车受力分析
小车运动微分方程表达式如式2-8：
d2??t? l?gsin???t???a?t?cos???t???lx?t? （式2-8）2????dtsin(?)?? ，运动微分方程可当倾角?很小的时候，可以进行线性化处理：cos(?)?1、简化为：
d2??t? l?g??t??a?t??lx?t? （式2-9）2dt自平衡车静止时a?t??0,其运动微分方程为：
d2??t? l?g??t??lx?t? （式2-10）2dt2.4 PID控制器设计
2.4.1 PID控制器原理
当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量系统需要控制的变量，与期望值相比较，用这个误差纠正调节控制系统的响应。在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。PID控制器问世至今已有近70年历史，以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。
PID控制器由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。其输入e (t）与输出u (t）的关系为：
de?t???1tu?t??Kp?e?t???e?t?dt?TD? (式2-11) 0Tdt1??8
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其中Kp为比例系数；T1为积分时间常数；TD为微分时间常数。
PID控制器具有原理简单、使用方便、适应性强、鲁棒性强、对模型依赖少等特点，因此使用PID控制器实现两轮自平衡车的控制是完全可行的。 2.4.2 PID控制器设计
由小车静止时其运动方程可得到系统输入输出传递函数：
??s?1H?s???X?s?s2?g (式2-12)
l此时系统具有两个极点：sp??g。其中一个极点位于s平面的右半平面。根据奈l奎斯特稳定判据可知系统不稳定，因此小车在静止状态不能保持平衡[5][6]。
由小车受力分析可知小车平衡的条件是提供额外的回复力及阻尼，其来源为车轮与地面的摩擦力。由式2-7可知，车轮提供的加速度的大小是根据角度?及角速度??的反馈得出，因此需要在控制系统中引入角度?及角速度??构成比例(P)微分(D)反馈环节，如图2-8所示。
图2-8 加入比例微分环节后的控制系统结构图
加入比例微分反馈后的系统传递函数为：
??s?1H?s???X?s?s2?k2s?k1?gll此时，系统的两个极点为s?p (式2-13)
2?k2?k2?4l?k1?g?。根据奈奎斯特稳定判据可知，
2l系统稳定需要两个极点都位于s平面的左半平面。要满足这一点，需要k1>g, k2>0。由此可得出结论，但k1>g, k2>0时，小车可以保持平衡，这也与上文中小车受力分析的结果相
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符。
在反馈环节中，与角度?成比例的控制量称为比例控制；与角速度成比例的控制量称为微分控制（角速度是角度的微分）。因此上面系数k1，k2分别称为比例和微分控制参数。其中微分参数相当于阻尼力，可以有效抑制自平衡车振荡。
控制系统的输出量为电机控制量，因而小车平衡控制的PID控制器的输出方程可写为：OUT_Motor=Kp*Angle+Kd*Angle_dot (式2-14)
式2-14中，OUT_Motor为PID控制输出量，Angle为反馈倾角值，Angle_dot为反馈角速度值，Kp和Kd分别为比例系数及微分系数。
2.5姿态检测系统
两轮自平衡车不同于普通传统结构的小车，是一种本质不稳定非线性系统。需要不断调整自身角度，以实现动态平衡。因此需要实时检测自身倾角，再进行合理调整，就可以实现动态平衡，因而姿态检测成为控制小车直立平衡的关键。
惯性导航是依据牛顿惯性原理，利用惯性元件来测量运载体本身的加速度，经过积分和运算得到速度和位置，从而达到角度、角速度、位置等姿态检测的目的。其工作时不依赖外界信息，也不向外界辐射能量，不易受到干扰，是一种自主式导航系统[7][8]。
MEMS惯性器件具有体积小，耐冲击，寿命长，可靠性高，成本低等特点，非常适于构建微型捷联惯性导航系统。本系统采用MEMS加速度计和陀螺仪构成自平衡车的姿态检测系统。 2.5.1陀螺仪
陀螺仪是一种用高速回转体的动量矩敏感壳体相对惯性空间绕正交于自转轴的一个或二个轴的角运动检测装置，可以用于检测角速度。本系统使用的陀螺仪是日本村田公司基于压电陶瓷技术的单轴陀螺仪ENC-03，其实物如图2-9所示。其利用了旋转坐标系中的物体会受到科里奥利力的原理，在器件中利用压电陶瓷做成振动单元。当旋转器件时会改变振动频率，从而反映出物体旋转的角速度。ENC-03体积小，响应快，功耗低，成本低。采用模拟量输出，检测范围可达±300deg/sec(度每秒)，灵敏度为0.67mv/deg/sec。
图2-9 陀螺仪ENC-03
陀螺仪直接输出角速度，将角速度进行积分便可以得到角度。陀螺仪输出数据噪声较
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