第一章 古典概型在博彩领域的应用
1.1古典概型的定义及其应用
对于古典概型，我们有下面的定义
定义1 设E是等可能试验，n是其样本空间?包含的样本点数（或基本事件个数），A是E的包含有k个样本点（或基本事件）的随机事件，则随机事件A的概率为P(A)?k该公式称为古典概型的概率计算公式。 n例1 一位赌主在街头设摊摸奖，其手中有一布袋，内装有6个黑球与6个白球，除颜色不同外，球的形状，大小，质量等都相同，每次让顾客在袋中摸出6个球，规则如下
6个黑球――――得10元
5个黑球，1个白球――――得5元 4个黑球，2个白球――――得2元 3个黑球，3个白球――――得－10元 2个黑球，4个白球――――得2元 1个黑球，5个白球――――得5元 6个白球――――得10元
如果顾客摸出3个黑球，3个白球，根据规则输给赌主10元，其他情况下可分文不花按规则得不同的奖，假设顾客共计摸了1000次。试分析赌主是否会输钱？
6解 分析 基本事件总数为C12＝924，摸到k个黑球，6-k个白球的基本
k6?k事件为C6 ?C6（k＝0,1,2,??，6），其概率分布如下 含黑球个数k 0或6 概率P(Ak) 0.2% 1或5 7.8% 2或4 48.7% 3 43.3% 表中7中情况的概率和为1，设连续摸1000次，将大约433次会输10元，2次赢10元，78次赢5元，487次赢2元，即共计顾客输4330元，赢2×10+78×5+487×2=1384元，因此，赌主显然不会输，输的是顾客。
1.2 古典概型在博彩领域的发展
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纵观概率发展的历史长河 ,可窥见概率和博彩已经鱼水相融。早在 15世纪上半叶 ,就已有数学家试图从理论上思考赌博问题。从最初的意大利数学家帕乔利 （L. pacioli ）1494年出版的《算术》一书中提出赌注分配问题 ,到后来的卡丹（ Cardan Jerome,1501 - 1576 ）重新就帕利赌注分配问题进行系列的理论探讨;从自然科学创始人之一的 ———伽利略(Galileo,1564 - 1642 )解决掷骰子问题 ,到帕斯卡和费马用各自用不同的方法解决 1654年 7月 29日法国骑士梅累向帕斯卡提出的赌博问题 ,再到 1657年荷兰数学家惠更斯 （G. Huygens,1629 – 1695） 一书《论赌博中的计算》的问世 ,都在探索赌博中的概率问题 ,并且也相应的使得概率论概念和定理得到延拓和发展。
如今,博彩业如雨后春笋般涌起, 巨额奖金的诱惑,使得一些“有识之士”为实现自己的致富梦想,不得不借助概率这个工具审时度势。
下面一道例题作为对博采理论分析具有很好的指导作用:
例2 在考察时间跨度内,引起人们注意的偏号码或偏和值共有10个,体彩“排列三 ”与“和 14”相邻两个开出期间隔甚至长达 96期 ,理论计算这些情况是否合理,在研究最初用到的就是古典概型和概率的有关性质。首先考虑各个位置号码,在 k（k?10 ）期中,至少有某一位置的某一个数字没有被开出的概率为p1?1?(1?(1?0.9k)10)2。
此问题抽象为概率问题,其实质是求“由 0～9十个数字组成的k个位置的排列中,其中至少有一个数字在k个位置都不出现的概率。
解 首先我们可以考虑: k个位置中某一个位置有一个数字不出现的概率为 9/10, k个位置都不出现该数字的概率则为(9/10)k（数字可以重复排列),而 k个位置至少有一个位置出现该数字的概率为1?0.9k,数字是 0 ～9中的任意一个,每个数字在该位置出现又是等可能的,所以 10个数字在此位置全出现过的概率为(1?0.9k)10, 根据概率性质,至少有一个数字在这个位置从未出现的概率为1?(1?0.9k)10,这样的位置有三个,所以至少有某一位置的某一个数字没有被开出的概率为(1?(1?0.9k)10)2。此问题的探讨反复利用概率的性质, 最终使问题得到解决。
古典概型是概率里边最早的概型,也是应用较为广泛的概型，它是概率论中最基本的内容之一, 在概率论中占有相当重要的地位。同时,古典概型与全概率公式相结合,对于实际问题中考虑整个系统的概率问题,或者得知整个系统的概率查找原因等问题,其作用也是不可磨灭的。下面例述全概率公式的作用。
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第二章 全概率公式在实际问题中的应用
概率论的重要课题之一 ,就是希望从已知的简单事件概率推算出未知的复杂事件的概率。为了达到这个目的 ,经常把一个复杂的事件分成若干个互不相容事件 ,再通过分别计算这些简单事件的概率 ,最后利用概率的可加性得到最终结果，这就是全概率公式的基本思想。把上面的整理清楚就是全概率公式。全概率公式是概率论中一个重要的公式,在实际中同样有广泛的应用。先引进定义
定义2 设B1,B2,?,Bn为样本空间?的一个划分,即B1,B2,?,Bn互不相容
(Bi?Bj??,i?j,ij?1,2,?n).且?Bi??，如果P(Bi)?0,i?1,2,?n，则对任
i?1nn一事件 A有 P(A)??P(Bi)P(A/Bi)。
i?1例2 在某次世界女排赛中,中,日,美,古巴四对取得半决赛权,形式如下 现根据以往的战绩,假定中国队战胜日本队,美国队的概率分别为 0.9与 0.4,而日本队战胜美国队的概率为 0.5,试问中国队取得冠军的可能性有多大 ?
解 根据上述形势,未完成的日美半决赛对中国冠军的影响很大,若日本队胜利,则中国队可有 90%的希望夺冠,若美国队胜利,则中国队夺冠的希望只有 40%。在日本队和美国队未比赛前,他们谁能取得半决赛权,两种情况都必须考虑到。
记“中国队得冠军 ”为事件B,
“日本队胜美国”为事件A1, 有 P(A1)?0.5?50% “美国队胜日本队”为事件A2 ,有 P(A2)?50%
显然有,要么日本队胜,要么美国队胜,二者必居其一,所以A1,A2为一个
划分,由全概率公式:这里 (n = 2)
P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)
其中P(B/A1)，P(B/A2)是两个条件概率。
P(B/A1)表示在日本队胜美国队的条件下中国队取得冠军的概率, 由题意可知,
P(B/A1)= 90%,
P(B/A2) 表示在美国队胜日本队的条件下,中国队取得冠军的概率 , 由题意可知,
P(B/A2)=40%
综上所述,在日、美未决赛前,估计中国队取得冠军的概率为
P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?50%?90%?50%?40%?50%(40?90%)?65% - 3 -
类似的利用全概率公式求解的案例有许多,比如工厂有多条流水线,求故障发生概率就是利用全概率公式求解,或者已知故障发生概率,追究不同流水线应承担的责任, 利用的是全概率公式的反向———贝叶斯 （逆概率）公式。在利用全概率公式求解实际问题中,关键是对问题的合理划分,考虑所有可能导致问题发生的情况。
全概率公式是考虑整个系统,渗透到生活各个方面的正态分布,对于许多实际问题的解决更是举足轻重。
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第三章 正态分布在实际问题中的应用
正态分布也称“高斯分布”,是概率论中最重要的一个分布,中心极限定理也告诉我们许多其它分布的极限为正态分布。许多实际问题,我们都可以将其转化为正态分布加以解决。
3.1正态分布在乘车方面的应用
例3 从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车,有两条路可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间 （单位为分）服从正态分布
N（50，100）,第二条路线沿环城公路走,路线较长,但意外阻塞较多,时间服
从正态分布N（60,16）。
（1） 假如有 70分钟可用,问应走哪条路线 ? （2）若只有 65分钟可用,又应走哪条路线 ?
解 从概率角度先考虑（1）的情况,有 70分钟可用时,根据正态分布的性质,分别求两种情况下的概率,又由于所有的正态分布都可以通过标准化化成标准正态分布,利用标准正态的性质或查找正态分布表,可以比较两条路线按时到达的概率大小,哪条大就走哪条路线。情况（2）与情况（1）同。具体解法如下
（1）有 70分钟可用 走路线一到达的概率
P(??70)??(70?50)??(2)?0.9772 4走路线二到达的概率
P(??70)??(70?60)??(2.5)?0.9938 4所以有 70分钟可用,应该走路线二。
（2） 有 65分钟可用 走路线一到达的概率:
P(??65)??(65?50)??(1.5)?0.9332 4走路线二到达的概率
P(??65)??(65?60)??(1.25)?0.8944 4所以有 65分钟可用,应该走路线一 。
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