（五）分式 1．分式的意义
形如
AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有BBBA?M；
B?MA?M．
B?M下列性质：
上述性质被称为分式的基本性质．
A?BA?B 2．繁分式
am?n?p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2mc?dn?p5x?4AB??例1．若，求常数A,B的值．
x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解： ∵?，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?A?B?5, ∴?
2A?4,? 解得 A?2,B?3．
111??例2．（1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1111 （2）计算：； ???1?22?39?101111????． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??（1）证明：∵?，
nn?1n(n?1)n(n?1)111?? ∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1（2）解：由（1）可知
111??? 1?22?39?1011111 ?(1?)?(?)??(? )22391091 ?1?＝．
1010－16－
111??? 2?33?4n(n?1)111111 ＝(?)?(?)??(?)
2334nn?111 ＝?，
2n?1 又n≥2，且n是正整数，
1
∴ 一定为正数，
n＋1
1111??? ∴＜2 ． 2?33?4n(n?1)c例3 设e?，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
a解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0，
1
∴e＝2 ＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
（3）证明：∵
练习
1.对任意的正整数n，
111? (?)；
n(n?2)nn?22.若
2x?y2x?，则＝ 。 x?y3y22 3．正数x,y满足x?y?2xy，求
4．计算
x?y的值． x?y1111???...?． 1?22?33?499?100
－17－
习题
A 组
1．填空题：
1819（1）(2?3)(2?3)＝________；
（2）若(1?a)2?(1?a)2?2，则a的取值范围是________； （3）11111?????________．
1?22?33?44?55?6
2．解不等式：
(1) x?1?3； (2) x?3?x?2?7 ； (3) x?1?x?1?6．
333．已知x?y?1，求x?y?3xy的值．
B 组
1．填空题：
3a2?ab11? ； （1）a?，b?，则223a?5ab?2b23x2?3xy?y222（2）若x?xy?2y?0，则? ；
x2?y22．已知：x?yy11,y?，求?的值． 23x?yx?y
－18－
3．解方程2(x?
4．试证：对任意的正整数n，有
211)?3(x?)?1?0． 2xx11??1?2?32?3?4?11
＜ ．
n(n?1)(n?2)4
（六） 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－
－19－
3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
x 1 x 1 －2 －1 －ay －1
x 1 x 1 6 －2 －by －2 图1．2－3 图1．2－1 图1．2－4 图1．2－2
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得
x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
练习：
把下列各式分解因式：
（1）x?5x?6?__________________________________________________。 （2）x?5x?6?__________________________________________________。 （3）x?5x?6?__________________________________________________。 （4）x?5x?6?__________________________________________________。 （5）x??a?1?x?a?__________________________________
2x y
－1 1
图1．2－5
2222（6）2x2?7x?3? 。 （7）6x2?7x?2? 。 （8）2x2?7x?3? 。
(七)分解因式（二）
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）x3?9?3x2?3x； （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6． 解： （1）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)． 或
－20－