2007－2008 学年 第二学期期末
考试统一用答题册
一、单项选择题（每小题3分，满分18分）
1、 设事件A、B为任意事件,则下列各式中成立的是( )。
(A) P(A?B)?P(A)?P(B)； (B) P(A?B)?P(A)?P(B)； (C) P(A?B)?P(B)?P(AB)?P(A)； (D) P(A?B)?P(A)P(B) 。
2、 有n(n?3)个人随机围坐在一个圆桌的一圈, 甲、乙两人相邻的概率是（ ）。
(A)
2n； (B)
2n?1； (C)
2n(n?1)； (D)
1(n?1)!14 .
3、 已知随机变量X的概率密度为f(x)??则有( ) 。 (A) a?1,b??12?a?bx,0?x?2?0,其它12, 且P{X?1}?,
； (B) a????2,212,b?1；(C) a?1,b?； (D) a?12,b?1 。
4、 设随机变量X在[?]上服从均匀分布,则Y?cosX的概率密度为（ ）。
1?1???1,?1?y?1?y????,?2（A）fY(y)???； 1?y22 ； （B）fY(y)????0,其它??0,其它（C）fY(y)?11?1?y21?2,0?y?1??2, ???y???； （D）fY(y)?? 。 1?y??0,其它i5、设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且服从同一分布,数学期望EX方差DXi?0,
??2?0,i?1,2,3,4；令X?X1?X2?X3,Y?X2?X3?X4,
则X与Y的相关系数?XY为（ ）. （A）
23 ； （B）9?； （C）
429?2； （D）2? 。
2?e?(x??),6、设总体X的概率密度为f(x,?)???0,x??x?? ,又x1,x2,???,xn为来自于总体X的样
本值,则参数?的极大似然估计为（ ）。
（A）???1nix?ni?1；（B） ???max{x1,?,xn} ；（C）???min{x1,?,xn}；（D）???1 。
二、填空题（每小题3分，满分18分）
1、在一副(不含大小王)52张扑克牌中,随机抽取2张,则取到的2张恰是不同花且最大点
数为7的概率为 。（普通扑克牌共有四种花，每种13张。） 2、某射手在射击中,每次击中目标的概率为p(0?p?1),射击进行到第二次击中目标为止,
X表示第一次击中目标时所进行的射击次数, Y表示第二次击中目标时所进行的射击次数,
则二维随机变量(X,Y)的分布律为P{X?i,Y?j}? 。
3、 设随机变量?X,Y?的分布律为
Y X -1 1
则P{X??1|Y?2}? 。
1 142 1214 0 4、设随机变量X的概率密度为f(x)?其中?,?为常数，且??0 。 则DX? 。
12?exp{?|x??|?},???x???,
5、将n只球(1~号)随机地放进n只盒子(1~号)中去,一只盒子装一只球,若将一只
球装入与球同号码的盒子中,称为一个配对,记X为配对的个数,则EX? 。
6、设总体X~N??,?2?,
x1,x2,?,xn为X的样本.
2
在未知方差?， 检验假设H0:???0时，
选取检验用的统计量是 。
三、（满分12分）从0~9这十个数码中任意取出4个排成一行数码,
求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;
(3) 所取4个数码没排成四位数的概率.
A6-1
?ae?(x?y),0?2x?y???四、（满分12分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??,
0,其它?(1)确定常数a； (2)求(X,Y)关于X的边沿概率密度； （3）求(X,Y)关于Y的边沿概率密度； （4）求P{X?1,Y?2} . 五、（满分8分）设X1,X2,?,X32为来自于正态总体N(?,42)的样本， 试求：（1）U?11616?i?1(Xi??)服从的分布； （2） V?11632?j?17(Xj??)服从的分布；
216?(X（3）令Y?i?132i??)， 求Y服从的分布。
j?(Xj?17??)2六、（满分12分）设X给出三个估计量??1?151,X2,X3为来自总体X的一个样本,EX??,DX??，
310X22X1??12X3,??2?13X1?14X2?512X3,??3?13X1?34X2?112X3,
（1） 证明这三个估计量都是总体均值?的无偏估计量；
（2） 计算这三个估计量的方差； （3） 问这三个估计量哪一个最佳？
七、（10分）（此题讲1至13章学生做，讲1至9章学生不做）
在一个计算系统中，每一循环具有误差的概率取决于前一个循环是否有误差。前一个循环有误差时，现在循环有误差的概率为0.75；前一个循环无误差时，现在循环有误差的概率为0.5。以0表示有误差状态，以1表示无误差状态。设Xn表示第n次循环的状态（0或1），则{Xn,n?1,2,?}是一齐次马尔科夫链。
1. 写出状态空间和一步转移概率矩阵；2．试求在已知第一次循环有误差的条件下，第三次循环有误差的概率及第四次无误差的概率。 解：1. 状态空间为{0,1}， 一步转移矩阵：P????0.52. P2?0.750.25?1?3?????0.5?4?221???, 16?1???. 2?1?11???16?105?1?433???, P??6?64?42p00?211163?, p012164
[七]、（满分8分）（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做）
A6-2
接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现小于5点为止,以X表示最后一次掷出的点数,以
Y表示掷骰子的次数.
试求:(1)求二维随机变量(X,Y)的分布律P{X?i,Y?j};
(2)求(X,Y)关于X边沿分布律，(X,Y)关于Y的边沿分布律; (3)证明：X与 Y相互独立； （4）求EX,EY,E(XY).
八、（10分）（此题讲1至13章学生做，讲1至9章学生不做）
设随机过程Z(t)?Xcos(?t??)，其中，?是常数；随机变量X与?相互独立，X服从标准正态分布N(0,1)，?服从区间(0,2?)上的均匀分布。 (公式：cos?cos??12[cos(???)?cos(???)])
1．证明Z(t)是广义平稳过程； 2．Z(t)的均值具有各态遍历性。
[八]、（12分）（此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做）
设X1,X2,???,Xn是总体N(?,?)的样本，令Yn?1ni21n?ni?1Xi，
Zn?(X?n?1i?1?Yn)，n?2,3,? 。
2试作：（1）求EZn；（2）求DZn；（3）证明：对任何??0，成立limPZn??n????2???1 。
? 答案
一、单项选择题（每小题3分，满分18分）
1C； 2 B；3A；4D；5A；6C。
二、填空题（每小题3分，满分18分）
1、
117；2、P{X?i,Y?j}?p2(1?p)j?2 , i?1,2,???,j?1;j?2,3,??? .
233、
；4、2?2 ； 5、1 ； 6、T?x??0s/n~t?n?1? 。
三、（满分12分）
A6-3
解(1) 设A?排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0),
P(A)?C8A8C4?A9C1A41012131?4190 ； (2) 设B?排成四位奇数, P(B)?C8A8C5A410121?4090?49 ;
13(3)设C?没排成四位数, P(C)?A1A9?9?1
4A109010四、（满分12分）
解 (1) 由1??a?????????????f(x,y)dxdy?13e?3x?13??0dx???2xae?(x?y)dy
0e?3xdx?a(?)|0?a??,得 a?3;
(2)(X,Y)关于X的边沿概率密度为
??fX(x)???????3e?(x?y)dy?3e?3x,x?0?; f(x,y)dy???2x??0,x?0（3）(X,Y)关于Y的边沿概率密度为
y??y?(x?y)?y???23edx?3e(1?e2),y?0fY(y)??f(x,y)dx???0;
???0,y?0?y(4) P{X?1,Y?2}????e?y2f(x,y)dxdy????2dy?3e21?(x?y)dx
x?1,y?2 ????23e?y(e?1)dy?3(?ee?1?y?23e?32y)|2?e???3 。
五、（满分8分）
解 由条件知，X1,X2,?,X32相互独立，同服从N(?,4)分布， Xi??4Xi??4222 ~N(0,1)，()~?(1)，
（1） U?116216?(i?1Xi??4)?11616?(Xi?1i??)~N(0,1),
（2）(Xi??4)~?(1) ，V?21163232?j?17(Xj??)?2?j?17(Xj??4)~?(16),
22 A6-4