运筹学实践报告
指派问题
第一部分 问题背景
泰泽公司（Tazer）是一家制药公司。它进入医药市场已经有12年的历史了，并且推出了6种新药。这6种新药中5种是市场上已经存在药物的同类产品，所以销售的情况并不是很乐观。然而，主治高血压的第6种药物却获得了巨大的成功。由于泰泽公司拥有生产治疗高血压药物的专利权，所以公司并没有遇到什么竞争对手。仅仅从第6种药物中所获得的利润就可以使泰泽公司正常运营下去。
在过去的12年中，泰泽公司不断地进行适量的研究和发展工作，但是却并没有发现有哪一种药物能够获得像高血压药物一样的成功。一个原因是公司没有大量投资进行创新研究开发的动力。公司依赖高血压药物，觉得没有必要花费大量的资源寻找新药物的突破。
但是现在泰泽公司不得不面对竞争的压力了。高血压药物的专利保护期还有5年1。泰泽公司知道只要专利期限一到，大量药品制造公司就会像秃鹰一样涌进市场。历史数据表明普通药物会降低品牌药物75%的销售量。
今年泰泽公司投入大量的资金进行研究和开发工作以求能够取得突破，给公司带来像高血压药物一样的巨大成功。泰泽公司相信如果现在就开始进行大量的研究和开发工作，在高血压药物专利到期之后能够发明一种成功药物的概率是很高的。作为泰泽公司研究和开发的负责人，你将负责选择项目并为每一个项目指派项目负责人。在研究了市场的需要，分析了当前药物的不足并且拜会了大量在有良好前景的医药领域进行研究的科学家之后，你决定你的部门进行五个项目，如下所示：
Up项目：开发一种更加有效的抗忧郁剂，这种新药并不会带来使用者情绪的急剧变化。
Stable项目：开发一种治疗躁狂抑郁病的新药。 Choice项目：为女性开发一种副作用更小的节育方法。 Hope项目：开发一种预防HIV的疫苗。 Release项目：开发一种更有效的降压药。
对于这5个项目之中的任何一个来说，由于在进行研究之前你并不知道使用的配方以及哪种配方是有效的，所以你只能明确研究所要解决的疾病。
你还有5位资深的科学家来领导进行这5个项目。有一点你十分清楚，那就是科学家都是一些喜怒无常的人，而且他们只有在受到项目所带来的挑战和激励的时候才会努力工作。为了保证这些科学家都能够到他们感兴趣的项目中去，你为这个项目建立了一个投标系统。这5位科学家每个人都有1000点的投标点。
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一般来说，专利权保护发明的期限为17年。在1995年，GATT立法拓展专利权的保护期限到20年。在本案例之中，泰泽公司的高血压药物的注册时间是在1995年之前，所以专利权只能够保护这种药物17年。
他们向每一个项目投标，并且把较多的投标点投向自己最感兴趣的项目之中。
下表显示了这5位科学家进行投标的情况。
项目 Up项目 Stable项目 Choice项目 Hope项目 Release项目 克瓦尔博士 100 400 200 200 100 朱诺博士 0 200 800 0 0 特塞博士 100 100 100 100 600 米凯博士 267 153 99 451 30 罗林斯博士 100 33 33 34 800
第二部分 指派问题的标准形式与建模
指派问题（Assignment problem）的定义：在满足特定指派要求条件下，使指派方案总体效果最佳。在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。由于每人的专长不同，各人完成任务不同，效率也不同。于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高。这类问题称为指派问题。
指派问题的标准形式是：有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的费用为cij(i,j=1,2,…，n)，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n件事的总费用最小。
设n2个0-1变量
xij??1若指派第i个人做第j件事
0 若不指派第i个人做第j件事
n(i,j=1,2,...,n)
数学模型为
minZ???cijxiji?1j?1n?n??xij?1?i?1?ns.t???xij?1?j?1??0or1i,j?1,2,?，n?xij?
第三部分 不同类型的指派问题
我们将指派问题分为几个不同的类型，解决不同指派问题的基本理念是将其转化为标准型，之后再求解。
（一）最大化指派问题
生活中有许多问题是需要我们求目标函数的最大值的，例如本题中我们需
要求解使科学家的满意度最大化。这时，我们就需要了解与掌握最大化指派问题的解法。
最大化指派问题的解法同标准型指派问题类似，只是将目标函数取最小值
改为目标函数取最大值。其余的建模与求解过程均与标准型相同。（以下几种类型的问题，我们默认均以最大化问题为前提。）
（二）人数与项目数不等的指派问题
这里默认一人只能领导一个项目。将问题转化为标准指派问题是求解问题的主体思路。人数与项目数不等的指派问题分为两种情况，一种是人数小于项目数的指派问题，另一种是人数大于项目数的指派问题。我们将原问题默认为最大化指派问题，即求目标为目标函数的最大值。
首先，关于人数小于项目数的指派问题的解法，我们需要添加虚拟的人，虚拟人的个数与人数和项目数之间的差额确定，并将虚拟人对应的系数矩阵中的系数设置为0。添加虚拟人后，就将原问题转化为人数与项目数相等的标准型指派问题，接着按标准型指派问题的建模和求解步骤求解。得到结果后，虚拟人对应的项目就是我们应该放弃的项目。
另外，关于人数大于项目数的指派问题的解法，我们需要添加虚拟的项目，虚拟项目的个数与人数和项目数之间的差额确定，并将虚拟项目对应的系数矩阵中的系数与其对应的项目的系数相同。（例如，A项目可以由两个人领导，那么我们将A项目变为A1项目，并添加A2虚拟项目，使得A1与A2对应的系数相等。）添加虚拟项目后，就将原问题转化为人数与项目数相等的标准型指派问题，接着按标准型指派问题的建模和求解步骤求解。得到结果后，分别领导相同系数项目的人即为共同领导同一项目的人。（即求得分别领导A1与A2项目的人为共同领导A项目的人。）
（三）一人可以领导多个项目的指派问题
一人领导多个项目的指派问题其实与人数大于项目数的指派问题的解法类似，只是将虚拟项目改为虚拟人。
关于一人领导多个项目的指派问题的解法，我们需要添加虚拟的人，虚拟
人的个数与人数和项目数之间的差额确定，并将虚拟人对应的系数矩阵中的系数与其对应的人的系数相同。（例如，甲可以同时领导两个项目，那么我们将甲变为甲1，并添加甲2虚拟人，使得甲1与甲2对应的系数相等。）添加虚拟人后，就将原问题转化为人数与项目数相等的标准型指派问题，接着按标准型指派问题的建模和求解步骤求解。得到结果后，相同系数的人领导的项目则是这个人同时领导的项目。（即求得甲1和甲2领导的项目即为甲所领导的两个项目。）
（四）某人不能领导某项目的指派问题
某人不能领导某项目，我们可以直接将对应于人和项目的交叉项的系数设
置为一个负的无穷大的数，因为这里我们是要求目标函数的最大值。在后面的实际问题求解中，我们将系数设置为-10000。其余建模与求解过程与标准型指派问题相同。