第3章 动量 角动量
3-1一架飞机以300m/s的速率水平飞行，与一只身长0.20m、质量0.50kg的飞鸟相撞，设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)。根据本题计算结果,谈谈高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰撞后会产生什么后果？
解 飞鸟碰撞前速度可以忽略,碰撞过程中冲量的大小为:
I?m??Ft
考虑到碰撞时间可估算为 t?l?
即得飞鸟对飞机的冲击力
?m?20.5?3002Fl?0.2?2.25?105(N)
由此可见飞机所受冲击力是相当大的，足以导致机毁人亡，后果很严重。
3-2 水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。如图，设水柱直径D?30mm，水速??56m/s，
水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求习题3-2图
水柱对煤的平均冲力。
解 △t时间内射向煤层的水柱质量为
?m???V?14?πD2?x 煤层对水柱的平均冲击力（如图以向右为正方向）为
F??m?2x??m?1x?m?1x1?t???t??4?πD2?x?t?1x
??14?1.0?103?π?(30?10?3)2?562??2.22?103(N)
水柱对煤层的平均冲力为
F'??F?2.22?103N，方向向右。
1
3-3 质量m?10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t体在作用力F?0时，物体位于原点，速率为零。如果物
计算3秒末物体的速度和加速度各为多少？（题中F??3?4t?N的作用下运动了3秒，
作用线沿着x轴方向）
解 力F在3秒内的冲量
I??Fdt??(3?4t)dt?27N?s
0033根据质点的动量定理 得
m??3??0?I
I?2.7m/s m??3??加速度
a?3??F?3?15?m/s2?1.5m/s2 m10??t?T?2?3-4 质量为m的物体，开始时静止，在时间间隔0?t?2T内，受力F?F0?1?? 作2T????4F0T用，试证明，在t?2T时物体的速率为。
3m证 由质点的动量定理得
2T2Tm?(2T)?0??Fdt??00?(t?T)2?4F0TF0?1?dt?T2?3??4F0T3m
即
?(2T)?3-5 质量m?10kg的物体在水平面上受到沿水平方向的拉力
F?10t2N作用，初始条件
x0?0，?0?0，物体与水平面间的摩擦系数??0.1。求第2秒末物体的速度和加速度。（重力加
速度g?10m/s2）
解 经分析知，物体在前1秒内受到的拉力不足以克服摩擦力，故物体处于静止状态，合力始终为零(拉力等于静摩擦力).1秒之后物体才开始运动。开始运动后物体受力
F合?(10t2?10)N
2
40(N?s)
113I4根据质点的动量定理m??0?I得 ??2???m/s
m3力F在第2秒内的冲量
I??Fdt??(10t2?10)dt?222秒末的加速度
a?2??F?2?30??3(m/s2) m103-6 如图所示，大炮在发射时会发生反冲现象。设炮身的仰角为?，炮弹和炮身的质量分别为m和M，炮弹的出口速度为?，若忽略炮身反冲时与地面的摩擦力，求炮身的反冲速
习题3-6图
度?。
解 忽略了炮身与地面的摩擦力，在水平方向上动量守恒。取研究对象
炮弹为
'
?VA，炮身为K?系，地面为K系。设x?x??轴水平向右。
炮弹发
???习题3-6解用图
度
射前系统的总动量为零。发射后，炮弹相对于炮口的速度为
???AK?（此即出口速度的含义），与x?轴为?角，炮身则以速?'??K?K
沿x轴负方向运动，炮弹对地的速度V??AK
V?????
矢量关系如解用图所示.炮弹和炮身在水平方向的动量分别为
mVx?m(?cos????)和?M??,
根据动量守恒定律有
?M?'?m(?cos????)?0
解得
?'?m?cos? 方向如图。
M?m3-7一个原来静止的原子核，放射性蜕变时放出一个动量为
3
习题3-7解用图
p1?9.22?10?21kg?m/s的电子，同时还在垂直于此电子运动的方向上放出一个动量为
p2?5.33?10?21kg?m/s的中微子。求蜕变后原子核的反冲动量的大小和方向。
解 设原子核蜕变后电子、中微子和反冲粒子具有的动量如解用图所示。根据动量守恒定律有
p1?p2?p3?0
由图可知，反冲粒子的动量
p3的大小
p3?2p12?p2?1.07?10?20kg?m/s
p3的方向应在p1和p2所在的平面内，与p1的夹角为π???π?arctan3-8 如图，质量为m且均匀分布、长为l可绕光滑垂直轴O在粗糙的水平桌面内定轴转动，设细杆与水平桌面间的摩擦系数为?，求细杆在转动时所受到的摩擦力矩。
解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个细杆与桌子的接触面上，因
p25π?p16
习题3-8图
此摩擦力矩的计算要用积分。如解用图，在
距轴O为r的地方取长度为dr的微元，则该微元的质量dm?习题3-8解用图
mdr，在转动过程其所受摩擦力 ldf??dmg??摩擦力对轴O力矩的大小为
mgdr ldM?rdf??整个细杆所受的摩擦力矩
mgrdr l4
M=?dM???0lm?mgl grdr?l23-9 如图，一半径为R、质量为m的匀质薄圆盘，平放在粗糙的水平桌面上，可绕通过中心且垂直盘面的轴旋转。设盘与桌面间的摩擦系数为
习题3-9图
?，求圆盘在转动时所受到的摩擦力矩。
解 本题中由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，因此摩擦力矩的计算要用积分。如图，在距轴O为r的地方取宽度为dr的圆环，则该圆环的质量
dm?m2mg2πrdr?rdr 22πRR习题3-9解用图
在转动过程中圆环所受的摩擦力
df??dmg?2?mgrdr R2摩擦力对轴O力矩的大小为
dM?rdf?整个薄圆盘所受的摩擦力矩
2?mg2rdr 2RM=?dM??R02?mg22?mgR rdr?2R33-10 如图，以初速度?0将质量为m的质点以仰角?从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，计算任一时刻，相对于坐标原点（1）作用在质点上的力矩M；（2）质点的角动量L。
习题3-10图
3-10解 (1) 质点运动方程为
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