大题规范练(二)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2＋(－1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)∵{an}为等差数列，
ann??∴?7×6
S＝7a＋d＝63??2
S4＝4a1＋
7
1
4×3
d＝242
n??a1＝3????d＝2
n?an＝2n＋1.
(2)∵bn＝2＋(－1)·an＝2
1
2
ann2n＋1
＋(－1)·(2n＋1)＝2×4＋(－1)·(2n＋1)，
nnnn∴Tn＝2×(4＋4＋…＋4)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)(2n＋1)]＝当n＝2k(k∈N)时，Gn＝2×＝n，∴Tn＝2当n＝2k－1(k∈N)时，Gn＝2×
n**
－3
＋Gn.
nn－3
＋n；
n－1
2
－(2n＋1)＝－n－2，
∴Tn＝
－3
n－n－2，
??∴T＝?
??
n－
3－3
＋nn＝2k，k∈N*
n＝2k－1，k∈N*
n－n－
2．(本小题满分12分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
4
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽
5奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
2
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中将均可获得奖金400元．
5(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
141174124148
解：(1)P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1 000)＝××＝，
55252552552525∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X P 0 7 25500 2 51 000 8 2528
(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520，
52526?2?若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B?3，?，则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金X的期55?5?望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，
故选择方案甲较划算．
3．(本小题满分12分)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)若正四棱锥P-ABCD的高为1，求二面角C-AF-P的余弦值．
解：(1)证明：∵直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE， ∴AB⊥AD，又AD⊥AF，AB∩AF＝A， ∴AD⊥平面ABFE，∵AD?平面PAD， ∴平面PAD⊥平面ABFE.
(2)∵AD∥BC，AD⊥平面ABFE，∴BC⊥平面ABFE，且AB⊥BF，建立以B为坐标原点，BA，BF，
BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
∵正四棱锥P-ABCD的高为1，AE＝AD＝2，
∴A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，－1,1)，
→→→
∴AF＝(－2,2,0)，CF＝(0,2，－2)，PA＝(1,1，－1)， →→
设n1＝(x1,1，z1)是平面ACF的一个法向量，则n1⊥AF，n1⊥CF，
?n·→AF＝0∴??n·→CF＝0
11
??－2x1＋2＝0
，即?
?2－2z1＝0?
，
解得x1＝1，z1＝1，即n1＝(1,1,1)．
→→
设n2＝(x2,1，z2)是平面PAF的一个法向量，则n2⊥AF，n2⊥PA，
?n·→AF＝0∴??n·→PA＝0
22
??－2x2＋2＝0
，即?
?x2＋1－z2＝0?
，
解得x2＝1，z2＝2，即n2＝(1,1,2)． ∴cos〈n1，n2〉＝
n1·n21＋1＋222
＝＝，
|n1|·|n2|33×6
又二面角C-AF-P是锐角， ∴二面角C-AF-P的余弦值是
22
. 3
4．(本小题满分12分)已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点．在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：
x y (1)求C1，C2的标准方程； 3 9 2－2 0 4 8 2 2 2?1?(2)已知定点C?0，?，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B?8?
两点，求△ABC面积的最大值．
x2y22??
解：(1)设C1：2＋2＝1(a＞b＞0)，由题意知，点(－2,0)一定在椭圆上，则点?2，?也
ab2??
4222
在椭圆上，分别将其代入，得2＝1，2＋2＝1，解得a＝4，b＝1，
12
aab∴C1的标准方程为＋y＝1.
4
设C2：x＝2py(p＞0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C2的方程，得p＝1， ∴C2的标准方程为x＝2y.
2
2
x2
2
?12?(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P?t，t?， ?2?
1212
由y＝x知y′＝x，故直线AB的方程为y－t＝t(x－t)，
2212
即y＝tx－t，代入椭圆C1的方程，整理得
2(1＋4t)x－4tx＋t－4＝0，
Δ＝16t－4(1＋4t)(t－4)＝4(－t＋16t＋4)＞0， 4tt－4
x1＋x2＝2，x1x2＝2，
1＋4t1＋4t∴|AB|＝1＋t23
4
6
2
4
4
2
2
2
3
4
16t2
＋4t62
－
t4－
＋4t2
＋4t2
2＝21＋t2－t＋16t＋4
， 2
1＋4t42112|－－t|2
821?1|1＋4t|?设点C?0，?到直线AB的距离为d，则d＝＝·， 22
8?8?1＋t1＋t1121＋t－t＋16t＋41|1＋4t|142
∴S△ABC＝×|AB|×d＝×××＝－t＋16t＋4＝ 22
221＋4t881＋t1－8
2
4
2
2
t2－
2＋68≤
11768＝，当且仅当t＝±22时，取等号，此时满足Δ＞0. 84
17
. 4
综上，△ABC面积的最大值为
12x5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ax(x＞0，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)
2的导函数．
(1)当a＝2时，求证：f(x)＞1；
(2)是否存在正整数a，使得f′(x)≥xln x对一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：当a＝2时，f(x)＝e－x，则
x22
f′(x)＝ex－2x，
令f1(x)＝f′(x)＝e－2x，则f′1(x)＝e－2，
令f′1(x)＝0，得x＝ln 2，又0＜x＜ln 2时，f′1(x)＜0，x＞ln 2时，f′1(x)＞0， ∴f1(x)＝f′(x)在x＝ln 2时取得极小值，也是最小值． ∵f′(ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数． ∴f(x)＞f(0)＝1.
(2)由已知，得f′(x)＝e－ax，
由f′(x)≥xln x，得e－ax≥xln x对一切x＞0恒成立，当x＝1时，可得a≤e，∴若存
2
xxxx2
在，则正整数a的值只能取1,2.
下面证明当a＝2时，不等式恒成立， e2x－
设g(x)＝2－－ln x，则g′(x)＝3
xxxxx2
x1x－
＋2－＝2
x－xxxx3
，
由(1)得e＞x＋1≥2x＞x，∴e－x＞0(x＞0)， ∴当0＜x＜2时，g′(x)＜0；当x＞2时，g′(x)＞0. ∴g(x)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
12112
∴g(x)≥g(2)＝(e－4－4ln 2)＞×(2.7－4－4ln 2)＞(3－ln 16)＞0，
444∴当a＝2时，不等式f′(x)≥xln x对一切x＞0恒成立， 故a的最大值是2.
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 1??x＝1＋2t已知直线l的参数方程为?
??y＝3＋3t2
x
(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴非负半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sin θ－3ρcosθ＝0.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．
解：(1)∵sin θ－3ρcosθ＝0，∴ρsin θ－3ρcosθ＝0， 即C的直角坐标方程为y－3x＝0. 1??x＝1＋2t(2)将?
??y＝3＋3t22
2
2
2
代入y－3x＝0得，
2
?1?2
3＋3t－3?1＋t?＝0，即t＝0，
?2?
从而，交点坐标为(1，3)，
?π?∴直线l与曲线C交点的一个极坐标为?2，?.
3??
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m＞0)． (1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|恒成立；求m的取值范围． 解：(1)f(x)＝|x－m|－|x＋3m|
－4m，x≥m??
＝?－2x－2m，－3m＜x＜m.??4m，x≤－3m??－2x－2≥1当m＝1时，由?
??－3＜x＜1
??4≥1
，或?
??x≤－3
??－4≥1
，或?
??x≥1
3
(无解)得x≤－，
2
3
∴不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤－}．
2
(2)不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)＜(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即[f(x)]max＜(|2＋t|＋|t－1|)min，
∵f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m， |2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3， 3
∴4m＜3，又m＞0，∴0＜m＜. 4