数学第一轮复习讲义 第五章 立体几何
第三十一讲 柱锥台球
【复习目标】
1、 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结
构；
2、 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；
【基础知识回顾】
1、棱柱的定义：__________________________________________________________________________。 2、棱柱按底面图形分，可分为______________________________________；
按侧棱与底面是否垂直可分为________________ 和________________；底面是正多边形的直棱柱叫做___________________；底面是平行四边形的棱柱叫做_____________________；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做_____________________。
3、棱锥的结构特征：有一个面是______________，其余各面都是有一个_____________的____________。 4、棱台的定义：__________________________________________________________________________。 棱台的各侧棱延长后交于一点。
5、分别以矩形、直角三角形、直角梯形、圆的____________、___________、__________、_______所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台、球。 6、柱锥台球的面积和体积公式： 名称 圆柱 圆锥 圆台 球
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图形 侧面积 表面积 体积 数学第一轮复习讲义 第五章 立体几何
（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=____________ （2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=_______________
（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S’，S，高为h，则体积V=___________________; 注：(1)对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。 (2)祖暅原理： ______________________________________________________________________。 7、球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的______，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的________。 8、在球面上，两点之间的最短距离是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长就叫做两点的_____________。
【基础知识自测】
1、以下说法中正确的是（ ）
A、有两个面平行，其余各面为平行四边形的多面体是棱柱
B、任意一个直棱柱去掉两个底面，沿一条侧棱剪开，然后放到一个平面上展开，它是一个矩形； C、长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体； D、正四棱柱是正方体。
2、如图，三棱台ABC?A1B1C1中，AB:A1B1?1:2，则三棱锥A1B1C，C?A1?ABC，B?A1B1C1的体积比为（ ）
A、1：1：1 B、1：1：2 C、1：2：4 D、1：4：4 3、一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为 ( )
A．4?
B．8?
C.12? D．16?
AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的4、(2010全国2文）与正方体ABCD?A1BC11D1的三条棱
点（ ）
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个
5、（2010上海春高）在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，
2
母线长最短50cm、最长80cm，则斜截圆柱侧面面积S= ___________cm. 6、（2010上海春高)各棱长都为1的正四棱锥的体积V? 。
【典型例题】
一、 空间几何体的结构特征
例1、 下面是关于四棱柱的四个命题，其中真命题的编号是________。
2
数学第一轮复习讲义 第五章 立体几何
① ② ③ ④ 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
跟踪训练：（2010福建）如图,若?是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ） ．．．A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C. ?是棱柱 D. ?是棱台
二、关于柱、锥、台体基本元素的计算
例2、设正四棱锥S?ABCD的底面边长为a，高为h，求棱锥的侧棱长和斜高。
跟踪训练：
1底半径为1,高为3的圆锥，其内接圆柱的底半径为R，当内接圆柱的体积最大时，R＝________.
例3、正三棱台两底面边长分别为3cm和6cm，高是
3cm。 2（1） 求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积与表面积。
跟踪训练：
(2010全国卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） (A) ?a
3
2(B)
72?a 3(C)
112?a (D) 5?a2 3数学第一轮复习讲义 第五章 立体几何
三、几何体的体积
例4、如图，已知在多面体ABC?DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC//平面DEFG,平面BEF//平面ADGC,AB?AD?DG?2,AC?EF?1,求该多面体的体积。
A B
C D E
F
G
跟踪练习：已知ABCD?A1BC11D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱
锥的体积。
四、球 的概念与性质
例4、设地球半径为R，在北纬45?圈上有A、B两地，它们的纬度圈上的弧长等于
2?R。4求A、B两地间的球面距离。
跟踪训练：（2010四川文）半径为R的球O的直径AB垂直于平面?，垂足为B，?BCD是平面?内
A边长为R的正三角形，线段AC、AD分别
与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 （A）Rarccos1718 （B）Rarccos 2525w_w_w.k*s 5*u.c o*mOM14（C）?R （D）?R
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第三十一讲《柱锥台球》课后定时达标训练
命题人：刘洁 审核人：杨树明 使用时间：2010.12.23
一、选择题
1、一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中（ ）
A AB∥CD B AB∥EF C CD∥GH D AB∥GH
2、若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
(A)
2223 (B) (C) (D)
36333、一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为 ( )
A．4?
B．8?
C．12?
D．16?
4、（ 2010全国卷I文）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD
的体积的最大值为（ ） (A)
234383 (B) (C) 23 (D) 3335、（2010北京文8）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E,F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上；若EF?1,DP?x,A1E?y（ｘ，ｙ大于零），则三棱锥P?EFQ的体积（ ） （Ａ）与ｘ，ｙ都有关 （Ｂ）与ｘ，ｙ都无关 （Ｃ）与x有关，与y无关 （D）与y有关，与ｘ无关
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