第3讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程
[考情考向分析] 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B级要求．
热点一 二阶矩阵与平面变换
?1 0?x2y2
例1 已知矩阵A＝??所对应的变换T把曲线C变成曲线C1：4＋2＝1，求曲线C的方
?0 2?
程．
解 设曲线C上任一点为(x，y)， 经过变换T变成(x0，y0)，
?1 0??x??x0?则?? ??＝??，即x0＝x，y0＝2y. ?0 2??y??y0?
由＋＝1，得曲线C的方程为x＋4y＝4. 42
x2y200
22
?x??x′?
思维升华 解决这类问题一般是设变换T：??→??，求出原曲线在T的变换下得到的曲
?y??y′?
线，再根据条件求相应的系数值．
1
?1
跟踪演练1 已知曲线C1：x＋y＝1，对它先作矩阵A＝?
?0
2
2
0?2?
?对应的变换，再作矩阵B＝
?0 ??1
b?
?对应的变换，得到曲线C2：4＋y＝1，求实数b的值． 0?
b??1 0??0 2b?
0?
x2
2
?0
解 从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝?
?1
P′(x′，y′)，
则有?
? ??＝??.在曲线C1上任?0 2??1 0?
意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为
?0 2b??x0??x′??2by0??x′?
? ??＝??，即??＝??. ?1 0??y0??y′?? x0??y′?
??2by0＝x′故???x0＝y′，
1??y0＝x′，
2b解得???x0＝y′.
代入曲线C1方程得，y′＋?
2
?1x′?2＝1.
??2b?
?1?222
即曲线C2方程为??x＋y＝1.
?2b?
与已知的曲线C2的方程＋y＝1比较得(2b)＝4.
4所以b＝±1.
热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法 例2 已知点P(3,1)在矩阵A＝?阵A. 解 依题意得?
－1
x2
22
?a 2?
?变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩b －1??
?a 2??3??3a＋2?? 5?
? ??＝??＝??，
?b －1??1??3b－1??－1?
?3a＋2＝5，?所以?
??3b－1＝－1，
解得?
?a＝1，???b＝0，
?1 2?
所以A＝??.
?0 －1?
?1 2?
因为det(A)＝??＝1×(－1)－0×2＝－1，
?0 －1??1 2?
所以A＝??.
?0 －1?
－1
思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．
2
跟踪演练2 二阶矩阵M对应的变换TM将曲线x＋x－y＋1＝0变为曲线2y－x＋2＝0，求M－1
22
.
2
－1
解 设曲线2y－x＋2＝0上一点P(x，y)在M对应变化下变成P(x′，y′)，
?a
设M＝?
?c
－1
b?
??x′＝ax＋by，
?，所以?
?y′＝cx＋dy，d??
代入x＋x－y＋1＝0得，方程(ax＋by)＋(ax＋by)
22
－(cx＋dy)＋1＝0，
即by＋(a－c)x＋(b－d)y＋2abxy＋ax＋1＝0，与方程y－＋1＝0比较得，a＝0，b＝1，
2
22
22
2
xc＝，d＝1或a＝0， b＝－1，c＝，d＝－1.
12
12
?0 －1??0 1?－1?或M－1＝?1?. 所以M＝?1
? －1?? 1?2???2?
热点三 特征值与特征向量
?1?
例3 已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝??，并且矩阵M对应的变
?1?
换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M；
(2)求矩阵M的另一个特征值．
?a
解 (1)设M＝?
?c
b?
?1??1??a＋b??，M??＝8??＝??， d??1??1??c＋d?
?－1??－2??－a＋2b?M??＝??＝??， ? 2?? 4??－c＋2d?
a＋b＝8，??c＋d＝8，则?－a＋2b＝－2，??－c＋2d＝4，a＝6，??b＝2，解得?c＝4，
??d＝4，
?6 即M＝?
?4
2?4?
?.
?λ－6 －2?
(2)令特征多项式f(λ)＝??
? －4 λ－4?
＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，
3
解得λ1＝8，λ2＝2. 故矩阵M的另一个特征值为2. 思维升华 求矩阵M＝?
?a ?c
b?d?
?就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母
的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法． 跟踪演练3 已知矩阵A的逆矩阵A＝?(1)求矩阵A；
(2)求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A是矩阵A的逆矩阵， 且|A|＝2×2－1×1＝3≠0， 21 －??3?1? 2 －1??3
所以A＝?. ?＝
3?－1 2??12??－3 3?－1
－1
－1
－1
?2 ?1
1?2?
?.
?λ－2 －1?－1
(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝??
－1 λ－2??
＝λ－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，
令f(λ)＝0，得矩阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝3，
－1
2
? 1?－1
所以ξ1＝??是矩阵A的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，
?－1??1?－1
ξ2＝??是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．
?1?
热点四 曲线的极坐标方程
??x＝2t，
例4 (2018·江苏冲刺预测)已知曲线C1的参数方程为?
?y＝t－1?
(t为参数)，以原点O为
62＋sinθ
2
极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
.
π?π1?(2)射线OP：θ＝α?其中0<α
2?2OP?＋1
OQ2
的值．
??x＝2t，
解 (1)因为曲线C1的参数方程为?
?y＝t－1?
(t为参数)，
所以曲线C1的直角坐标方程为x－2y－2＝0，
4
所以曲线C1的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ－2＝0， 因为ρ＝
62＋sinθ
2
，所以ρ(2＋sinθ)＝6，
2
2
22
所以曲线C2的直角坐标方程为2x＋3y＝6. 6?
?ρ＝，2
2＋sinθ(2)依题意得，点P的极坐标满足???θ＝α，2＋sinα
所以OP＝，＝， 22
62＋sinαOP6
?ρ＝，?2＋sinθ
点Q的极坐标满足?
π
θ＝α＋，??2
2
61
2
2＋cosα
所以OQ＝，＝， 22
62＋cosαOQ2＋sinα2＋cosα5
所以2＋2＝＋＝. OPOQ666
思维升华 解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
??x＝acos t，跟踪演练4 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?
?y＝1＋asin t?
61
2
11
22
(t为参数，a>0)．在
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在
C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x＋(y－1)＝a(a＞0)，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ－2ρsin θ＋1－a＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
??ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，
?
?ρ＝4cos θ.?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
若ρ≠0，由方程组得16cosθ－8sin θcos θ＋1－a＝0，由已知tan θ＝2，可得16cosθ
5