例2 求解方程 解 令
，有
.
原方程的参数形式为
由基本关系式 有
积分得到
从而原方程的参数形式通解为
也可以消去参数t ，得到原方程的通积分为 通解为
例4 求解方程 解 令
原方程的参数形式为
1
由基本关系式 有 或 上式又可化为 由再由通解
例5 求解方程
(1.72)
，代入(1.72)的第三式，得原程的一个特解 ，解得
.
，代入(1.72)的第三式，得原方程的
(1.73)
这里，假定 是二次可微函数.? 解 (1.73)的参数形式为
2
由基本关系式 有 整理得 由
，得
(1.74）
，代入(1.74)的第三式，得原方程通解
? ? (1.75) 解得隐函数
,代入(1.74)第三
由于
，由
式，得到原方程的一个特解 （
(1.76)
第7讲 几种可降阶的高阶方程
例1 求解方程
解 令 则有
通解为
3
从而
积分四次，得到原方程的通解 第二种可降阶的高阶方程
例2 求解方程 解 令
,则
．
代入原方程得
或
积分后得
\其中 a\为任意常数. 解出 p\得 或
积分后得
其中 b为任意常数. 于是有
4
或
其中
为任意常数.
1.7.3 恰当导数方程 假如方程
的左端恰为某一函数
（ 1.80）
对 x的导数，即(1.80)可化为
则(1.80)称为恰当导数方程.
这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为
之后再设法求解这个方程. 例3 求解方程 解 易知可将方程写成
.
故有
即
.
积分后即得通解
5