正项级数收敛性判别法的比较及其应用
摘 要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。 关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较
Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.
Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare
一、引言
数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识
1、正项级数收敛的充要条件
部分和数列?Sn?有界，即存在某正数M，对?n?N，有Sn 2、几种不同的判别法 (1)比较判别法 设?un和?vn是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有un?vn n?1n?1??那么 ?i?若级数?vn收敛，则级数?un也收敛； ?ii?若级数?un发散，则级数?vn也发散； n?1n?1n?1?n?1??? 比较判别法的极限形式 ： ??设?un和?vn是两个正项级数。若limn?1n?1un?l，则 n???vn?i?当 时，?un与?vn同时收敛或同时发散； n?1n?1???ii?当l?0且级数?vn收敛时，?un也收敛； n?1n?1?iii?当l??且?vn发散时，?un也发散。 n?1n?1? (2) 比值判别法 ?设?un为正项级数， ?N0?N，有 n?1?un?1?i?若对一切n>N0，成立不等式?q<1，则级数?un收敛； uni?1?un?1?ii?若对一切n>N0，成立不等式?1，则级数?un发散。 uni?1 (3) 根式判别法 ?设?un是正项级数，且存在某正整数N0及正常数M n?1?i?若对一切n>N0，成立不等式nun?ii?若对一切n>N0，成立不等式 根式判别法的极限形式： ?n?1 设?un是正项级数，且limnun?l，则 n???0?????M<1，则级数?un收敛； i?1??nun?1，则级数?un发散。 i?1?i?当l<1时，级数?un收敛； ?ii?当l>1时，级数?un发散； ?iii?当l?1时，级数的敛散性进一步判断。 n?1n?1?? (4) 柯西积分判别法 对于正项级数?un，设?un?单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数 n?1?f?x??f?x?>0?，使得当x等于自然数n时，其函数恰为un。那么级数?un积分， n?1?An??f?x?d?x?，同时收敛或同时发散。 1? (5) 拉贝判别法 设?un是正项级数，且存在自然数N0及常数r， n?1??un?1??i?若对一切n i?1n?????un?1??ii?若对一切n>N0，成立不等式n??1?u??<1，则级数?un收敛 i?1n??拉贝判别法的极限形式： ?un?1??设?un是正项级数，且极限limn?1???r存在，则 n????un?1n????i?当r<1时，级数?un收敛； ?ii?当r>1时，级数?un发散。 n?1?n?1? ?iii?当r?1时，拉贝判别法无法判断。 (6) 阿贝尔判别法 如果： ?i? 级数?bn收敛； n?1??ii?数列?an?单调有界，an如果： ?K?n?1,2,3,????，则级数?anbn收敛。 n?1?(7) 狄立克莱判别法——变量级数判别法 ?i?级数?bn的部分和Bn有界，Bnn?1??M?n?1,2,3,???? ?ii?数列?an?单调趋近于零，则级数?anbn收敛。 n?1?注：阿贝尔判别法与狄立克莱判别法是任意级数判别法，但也适用正项级数。 (8) 对数判别法 设a>0，n?n0，?un为正项级数，若 n?1?1?n?i??1?a，n>0，?un收敛 lnnn?1ln1?n?ii?<1，?un发散。 lnnn?1ln (9) 高斯判别法 ?an?1?a?1?? 设?un为正项级数，若u?1??1?????， ??an?lnn?lnn?n?1??则在?>1时，级数?un收敛; n?1???<1时，级数?un发散。 n?1 三、 判别方法的比较 1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含有二项以上根 式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的比较判别法判断。如： 111（1） 1??????????? 23n1取0 2111111Sn?p?Sn???????>??????>?0 n?1n?22n2n2n2所以级数发散 ?（2） ?n?1n?2?2n?2?n Sn??3?22?1???4?23?2???5?24?3?...???n?2?2n?1?n ?=1?2?n?2?n?1 1 =1?2? n?2?n?1S=limSn?1?2 n??P级数只能用正项级数的比较判别法进行判断最为简便。 12、当级数表达式形如un，un为任意函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级 un?1un?1lim?1limnunn???un???unn、n???数、P级数、调和级数进行比较不易算出或、等此类无 lim法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例： 1?1??2?（1） ?级数收敛 ???a>1??n?a?n?11?a?1111（2） ?级数收敛 ???lnnlnnlnlnn2lnn2eenn?1?lnn?比较判别法使用适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。 3、当级数含有n的阶乘，n次幂，形如a!或an或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。当通项含an的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例： ?n1?3????2n?1?（1） ? n!n?1u2n?1limn?1?lim?2级数发散 n???un??n?1n??（2） ?narctann?1 2n?1利用a?0时，有等价无穷小关系arctana~a， ??3?若记an?n?arctana则limn?1?limn???an??n?2n?1， ?n?1??arctan?n?2?2?n?1????limn??n?arctann?12??所以级数?narctann?1收敛 2n?12n?2n??2n?1?1<1， 2