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第十七章 多元函数微分学
§17.1 多元函数微分学
1．求下列函数的偏导数： (1)
zx=2xy,zy=x2; (2)z=ycosx
zx=-ysinx,zy=cosx;
(3)
zx=-x(x2+y)322
,zy=-y(x2+y)322;
(4)z=ln(x2+y2)
zx=2x2y,z=; y2222x+yx+y
(5)
zx=yexy,zy=xexy; (6)z=arctanx yzx=-y-yx=,z=; y2222y2x2x+yx+y1+()x.
1(7)
zx=yesin(xy)+xy2esin(xy)cos(xy)=yesin(xy)[1+xucos(xy)],zy=[1+xycos(xy)]xesin(xy);
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(8) u=yxx+- xyzux=-y11z1x-,u=-,u=+; yz222xzxyyz(9)
ux=zy(xy)z-1,uy=zx(xy)z-1,uz=(xy)zln(xy); (10) u=xyzz
ux=yzxy-1,uy=zyz-1xylnx,uz=xyyzlnxlny; 2.设f(x,y)=x+(y-1)arcsinzzx；求fx(x,1) y解法1：f(x,1)=1+(y-1)1?,则f(x,1)=1
1-x/y2xy解法2：f(x,1)=x+0?arcsinxx,fx(x,1)=1
ì1?22?ysin,x+y?0,?22x+y3．设f(x,y)=í，考察函数f在原点（0，0）的偏导数。 ?22??0,x+y=0??解： 因为 limDx瓺0f(0+Dx,0)-f(0,0)0-0=lim=0, x?0DDxx limf(0,0+Dy)-f(0,0)DyDy瓺0=lim1不存在. 所以，f(x,y)在原点关于x2y?0(D)y的偏导数为0，关于y的偏导数不存在。 4．证明函数
在点（0，0）连续但偏导数不存在 .
(0,0)r0.而f(0,0)=0.
证明： 记x=ycosq,y=rsinq,则(x,y)limx2+y2=limr=0.所以
r0(x,y)(0,0)(x,y)?(0,0)limx2+y2=0=f(0,0),即z=x2+y2在点(0,0)连续.
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Dx2f(Dx,0)-f(0,0)然而，lim不存在，即fx(0,0)不存在，同理fy(0,0)=lim0x0xDxDx不存在.
5．考察函数 解
：
fx(0,0)=limx0在点（0，0）处的可微性
f(x,0)-f(0,0)=lim=0,x0x同理
fy(0=,0而
1122lim轾f(x,y)-f(0,0)x-f(0,0)y=limrsinqcosqsin=0.所(r=x+y)。xy犏2r0r臌r0r以，f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)+fy(0,0)y+o(r)。即函数f在点(0,0)处可微。
2ì?xy22?,x+y?0,?22x+y6．证明函数f(x,y)=?在点（0，0）连续且偏导数存在，但í??22?0,x+y=0,??在此点不可微。
证明：记x=gcosq,y=gsinq，则(x,y)?(0,0)等价于g?0.
x2y2=limgcosqsinq=0=f(0,0),即f在点（1） limf(x,y)=lim(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)x2+y2g0(0,0)处连续。
（2）fx(0,0)=limDx?0f(Dx,0)-f(0,0)=0，
Dxfy(0,0)=limy瓺0f(0,Dy)-f(0,0)Dy即函数f(x,y)在点(0,0)处偏导数存=lim0=0。
y?0在。 （3）设r=Dx2+Dy2则当(x,y)(0,0)r0
1r3cos3qsinq=limcos2qsinq不存在，则lim[f(x,y)-fx(0,0)x-fx(0,0)y]=lim2r0rr0r0r所以函数f在点(0,0)处不可微.
7．证明函数 偏导
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在点（0，0）连续且
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数存在，但偏导数在（0，0）不连续，而 证明：由于续。
且fx(0,0)=lim在原点（0，0）可微.
(x,y)?(0,0)lim(x2+y2)sin1x+y22=0=f(0,0),所以f(x,y)在点(0,0)连
Dx瓺0f(0+Dx,0)-f(0,0)1=limDxsin=0.同理fy(0,0)=0. x?0Dx|Dx|所以f在点(0,0)偏倒数存在。 但当x2+y2?0时，fx(x,y)=2xsin1x+yxx+y2222-xx+y122cos1x+y22,
而
(x,y)lim(0,0)2xsin1x+y22=0,lim(x,y)(0,0)cosx+y22不存在。
因此，lim在
lim(x,y)?(0,0)fx(x,y)不存在，从而fx(x,y)在点(0,0)不连续。同理可证fx(x,y)不
=(x,Dy)?点(Df-fy(0,0)DyDx2+Dy2(Dx,Dy)瓺(0,0)lim(0,0)连续。然Dx2+Dy21sin=0,(r=2222Dx+DyDx+Dy而
Dx2+Dy2?0)所以f在点(0,0)可微
8.求下列函数在给定点的全微分：
（1）z=x4+y4-4x2y2在点（0，0），（1，1）； （2）z=xx+y22在点（1，0）和（0，1）。
解：（1）因为zx=4x3-8xy2,zy=4y3-8x2y在点(0,0)连续，所以函数在、(1,1)(0,0)、(1,1)可微。zx(0,0)=0,zy(0,0)=0,zx(1,1)=-4,zy(1,1)=-4可得 dz|(0,0)1=0,dz|(1,1)=-4(dx+dy).
（2）因为在点（1，0）、（0，1）连续，所以函数在（1，0）、（0，1）可微，由
zx(1,0)=0,zx(0,1)=1,zy(1,0)=0,zy(0,1)=0可得dz|(1,0)=0,dz|(0,1)=dx. 9求下列函数的全微分： （1）
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；
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（2） .
解：显然函数z和u的偏导数连续，于是z和u可微，且 （1）因
抖zz=ycos(x+y),=sin(x+y)+ycos(x+y),所以 抖xydz=ycos(x+y)dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dy; （2）因
抖uu?u=eyz,=1+xzeyz,=xyeyz-e-z,所以 抖xy?zdu=eyzdx+(xzeyz+1)dy+(xyeyz-e-z)dz.
10．求曲面z=arctanyp在点（1，1，）处的切平面方程和法线方程。 x4解：因z=arctany在(1,1)处可微，从而切平面存在。 xy1x1|=-,f(1,1)=|=.切平面方程：(1,1)y(1,1)x2+y22x2+y22pz-p11px-1y-14,z-=-(x-1)+(y-1),即x-y+2z=.法线方程：==114222-1-22pz-x-1y-14. 即==-11-2且
fx(1,1)=-11．求曲面3x2+y2-z2=27在点（3，1，1）处的切平面方程和法线方程。 解：分别对x,y求导得6x-2z?zx得zx=0,2y-2zzy=0
3xy,zy=.在点（3，1，1）处有zx=9,zy=1，所以根据切平面方程定义zz得切平面方程为：9(x-3)+(y-1)-(z-1)=0，即9x+y-z-27=0.
法线方程为：
x-3y-1z-1==,即x-3=9(y-1)=9(1-z). 91-112．在曲面z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0；并写出这
前平面方程和法线方程。
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