华东师大二附中2015届暑期练习（六）
数学试卷
一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．已知集合
?x?2?A??x|?0?，B??x|x2?2x?3?0,x?R?，则
?x?5?A?B?____________．
2．直线x?3y?1?0的倾斜角的大小是____________． 3．函数y?cos?2x?4．函数y?x??????的单调递减区间是____________． 4?2?x?2?的值域是____________． x5．设复数z满足i?z?1???3?2i，则z＝____________．
6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生. 7．函数f?x??sinx?cosxcos???x?2sinxcosx?sinx?1的最小正周期T=____________．
8．已知函数f(x)?arcsin(2x?1)，则f()?____________． 6?9．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?900,AA1?2,AC?BC?1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____________．
1???410．若?1?2??n?N?,n?1?的展开式中x的系数为an，
?x?则lim?n?11??n??a?2a3?1??=____________． an?11．在极坐标系中，定点A(2,?2),点B在直线?cos???sin??0上运动，则点A和点B
间的最短距离为____________．
12．如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i?1，从中任取三个数，，2，3；j?，1，23)?a11 a12 a13???a a a212223?? ?a a a?3233??31 1 / 8
则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)
13．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量，则m?n的最大值为____________． AP?mAB?nAF(m,n为实数）14．对于集合
A?{a1,a2,???,an}（
n?N*,n?3)，定义集合
S?{xx?ai?aj,1?i?j?n}，记集合S中的元素个数为S(A)．若a1,a2,???,an是公差
大于零的等差数列，则S(A)=____________．
二．选择题：（本题满分20分，每小题5分） 15．已知直线l?平面-------------( )
①?//??l?m ②????l//m ③l//m???? ④l?m??//? A．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③ BC16．在?A?，直线m?平面?，给出下列命题,其中正确的是
b、c，B、C的对边分别是a、中，角A、且?A?2?B，则
nsiB等于-------（ ）
nsi3BA．
cbab B． C． D．
bcca217．函数y?1?(x?2)图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下
不可能成为公比的数是---------------------------------------------------------------------------------- （ ） ．．．A．
313 B． C． D．3 22318．设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）
A．① ③ B．② ③ C．① ② D．① ② ③ 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
19．（本题满分12分，第（1）小题６分，第（2）小题６分） 如图，△ABC中，?ACB?90，?ABC?30，BC?3，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB 2 / 8
00分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体． （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积． 20．（本题满分14分） 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知?ABC?120，
0?ADC?1500，BD?1（千米），AC?3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每
小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．
（即从B点出发到达C点）
21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）
已知椭圆x2?2y2?a2(a?0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C的方程；
A
B
D
C
B两点，（2）已知直线y?k(x?1)与椭圆C交于A、试问，是否存在x轴上的点M?m,0?，
使得对任意的k?R，MA?MB为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.
22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分） 定义：对于函数f?x?，若存在非零常数M,T，使函数f?x?对于定义域内的任意实数x，都有f?x?T??f?x??M，则称函数f?x?是广义周期函数，其中称T为函数f?x?的广义周期，M称为周距． （1）证明函数f?x??x???1?应周距M的值；
（2）试求一个函数y?g?x?，使f?x??g?x??Asin??x????x?Rx?x?Z?是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相
?（A、?、?为常
数，A?0,??0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T和周距M；
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（3）设函数y?g?x?是周期T?2的周期函数，当函数f?x???2x?g?x?在?1,3?上的值域为??3,3?时，求f?x?在??9,9?上的最大值和最小值．
23．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分） 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n?5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f?2,1??f?1,1??f?1,2?；
f?i,j?为数表中第i行的第j个数．
（1） 求第2行和第3行的通项公式f?2,j?和f?3,j?；
（2） 证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f?i,1?关于i（i?1,2,,n）的表达式；
（3）若f?i,1???i?1??ai?1?，bi?得Sn?b1g?1??b2g?2??当n??时，都有Sn?m．
1，试求一个等比数列g?i??i?1,2,,n?，使aiai?11?11??bng?n??，且对于任意的m??,?，均存在实数??，
3?43?f?1,1?f?1,2?f?3,1?f?1,n?1?f?3,n?2?f?1,n?f?2,1?f?2,2?f?2,n?1?f?n,1? 4 / 8
参考答案
填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．??5,?1? ２．
5??3??? 3．?k??,k???k?Z? 4．?3,??? ?688?? 5．1?3i 6．40 7．? 8．?11．2 12．
16 9． 10．2 4613 13．5 14．2n?3 14二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．Ｃ 16．Ｄ 17．Ｂ 18．Ｃ
三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 解：（1）连接OM，则OM?AB， 设OM?r，则OB?3?r， 在?BMO中，sin?ABC?OMr1??， OB3?r2所以r?3，--------------------------（4分） 34?．-----------------（6分） 32所以S?4?r?（2）
?ABC中，?ACB?90，?ABC?30,BC?3，
?AC?1，-------------------------------（8分）
1414353（12分） ?V?V圆锥?V球???AC2?BC??r3???12?3??()3??．
333332720．（本题满分14分）
00解：由?ADC?150知?ADB?30，
由正弦定理得
1AD?，所以，AD?3．---------------------------------------（4分）
sin300sin12002220在?ADC中，由余弦定理得：AC?AD?DC?2AD?DCcos150，
即3?2?3?2?DC2?2?3?DCcos1500，即DC2?3?DC?6?0，
解得DC??3?33， -----------------------------------------------（10分） ?1.372（千米）
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