DN0401: 序列的傅里叶变换的性质：
信号与信息处理专业：钟少君（031120518）
一、 傅里叶变换的性质
1、 线性：若x(n)?X?ej??,y(n)?Y?ej??,则
ax(n)?by(n)?aX?ej???bY?e?
j???j?n证明：
???ax(n)?by(n)?en???????j?n??ax(n)en????j?n??by(n)en???j??j?n??j?n
?a?x(n)en????b?n???y(n)e?aXe?j???bY?e??ax(n)?by(n)?aX?ej???bY?e?
j?j?2、 时间位移：若x(n)?X?e证明：
??,则x(n?n0)?e?j?n0Xe?j??
?x(n?n0)??x(n?nn????)e0?j?n做变量替换n?n0?m则
???x(n?nn???0)e?j?n??x(m)em????j?(n0?m)?e?j?n0?x(m)em????j?m?e?j?n0Xe?j??
?x(n?n0)?e?j?n0Xe?j??
j?3、 频率位移：若x(n)?X?e证明：
??j?0n?,则ej?0nx(n)?Xe?j????0??
??en???x(n)e?j?n??x(n)en????j????0?n?Xe?j????0??
?ej?0nx(n)?Xe?j????0??
j?4、 时间共轭：若x(n)?X?e证明：
??,则x**(n)?X*?e?
?j??,
??xn???*(n)e?j?n???j(??)n????x(n)e??X?n?????j?*?e?j??x(n)?X**?e?
5、 频率共轭：若x(n)?X?ej??,则x*(?n)?X?**?e?
j?*证明：??x(?n)e*?j?n???j?(?n)????x(?n)e??X?e?
j?n????n?????x*(?n)?X*?ej??
二、 卷积定理
1、 序列卷积
若： w(n)?x(n)?y(n),则W(z)?X(z)Y(z) 证明：
??w(n)?x(n)?y(n)??x(k)y(n?k)
k???????W(z)??w(n)z?n?????x(k)y(n?k)??z?nn???n????k??????????x(k)?y(n?k)z?n??x(k)?y(m)z?(k?m)
k???n???k???m???????x(k)z?k?y(m)z?m?X(z)Y(z)k???m???2、 序列乘积
若：w(n)?x(n)y(n),则W(z)?12?j?X(v)Y?z??1c??v?vdv?证明：由定义
?W(z)??x(n)y(n)z?n
n???而x(n)?1?X(n?12?jcv)vdvRx??v?Rx???(1)
则
W(z)?1?n?12?j?z?ndvn????cX(v)y(n)v1??n
?X(v)v?12?j?c?y(n)??z?dvn????v??在收敛域Ry??zv?Ry?内
??n?y(n)??z???Y??z?n????v??v???(2)
?Rx?Ry??z?Rx?Ry?
?W(z)??z??1X(v)Y??vdv ?c2?j?v?1?z?c是在X(v),Y??收敛域公共部分的闭合?v?围线。zv由(1)式可知，Rx??v?Rx?,由(2)式可知，Ry??从这两个收敛域的公共对于z平面的收敛域为部分可求得W(z)收敛域。?Ry?，
Rx?Ry??z?Rx?Ry? 三、 若输入为正弦序列x(n)?Acos(?n??),则输出响应为
y(n)?A2?H?e?ej?j(?n??)?He??j??e?j(?n??)?
证明：
?x(n)?Acos(?n??)?A2ej(?n??)?A2e?j(?n??)令x1(n)?应，则
?A2ej(?n??),x2(n)?A2?e?j(?n??)分别为输入序列，y1(n),y2(n)分别为其输出响
y1(n)??A2e?k???h(k)x1(n?k)???k???h(k)j?A2ej[?(n?k)??]j(?n??)?k???h(k)e?j?k?He??Ae2
j(?n??)同理：
??y2(n)??A2e?k???h(k)x2(n?k)???k???h(k)e?j??j?A2e?j?(n?k)?j(?n??)?k???h(k)ej?k?He??Ae2
?j(?n??)?对于输入序列y(n)?A2j?x(n)?x1(n)?x2(n)的输出响应为j(?n??)?H?e?e?He??j??e?j(?n??)?