第一讲 不等式和绝对值不等
1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，则下列不等式中一定成立的是( ) A．|x－y|＜ε B．|x－y|＜2ε C．|x－y|＞2ε
D．|x－y|＞ε
解析：|x－y|＝|x－m－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜2ε. 答案：B
2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( ) A．|a＋b|＞a－b C．|a＋b|≤|a|＋|b|
B．2ab≤|a＋b|(ab＞0)
?ba?
D.?a＋b?≥2 ?
?
解析：令a＝1，b＝－1，则A不成立． 答案：A
3．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h，且|b－1|＜h，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：显然a与b的距离可以很近，满足|a－b|＜2h，但此时a，b与1的距离也可以最大，因此甲不能推出乙；若|a－1|＜h，|b－1|
＜h，则|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，乙可以推出甲．
因此甲是乙的必要不充分条件． 答案：B
4．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( ) A．2 B.2 C．4
D．6
解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4－(x－6)|＝2. 故最小值为2. 答案：A
5．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( ) A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b| C．b＞||c|－|a||
D．b＜|a|－|c|
解析：由|a－c|＜b知b＞0，所以b＝|b|. 因为|a|－|c|≤|a－c|，
所以|a|－|c|＜b，即|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|，故A成立． 同理由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|＜b. 所以|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|，故B成立． 而由A成立得|c|－|a|＞－|b|，
由B成立得|c|－|a|＜|b|，所以－|b|＜|c|－|a|＜|b|， 即||c|－|a||＜|b|＝b，故C成立． 故由A成立知D不成立． 答案：D 二、填空题
6．若不等式|x－4|＋|x－3|＞a对一切实数x恒成立，则实数的取值范围是________．
a解析：由|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1， 得(|x－4|＋|x－3|)min＝1， 故a的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1)
7．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝|x－4|＋|x－3|，则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值．
因为|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1， 即f(x)max＝1，所以a≥1. 答案：[1，＋∞)
8．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最大值是________．
解析：|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.
答案：5 三、解答题
?1???x＋9．(2014·课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝a?＋|x－a|(a＞0)，证?
明：f(x)≥2.
证明：由a＞0，有
???11?1
???f(x)＝x＋a＋|x－a|≥x＋a－（x－a）?＝＋a≥2. ????a
所以f(x)≥2.
10．求函数f(x)＝|x－5|－|x＋3|的最大值，并求出取最大值时x的范围．
解：f(x)＝|x－5|－|x＋3|≤|(x－5)－(x＋3)|＝8， 当且仅当(x－5)(x＋3)≤0，即－3≤x≤5时等号成立， 所以当－3≤x≤5时，f(x)＝|x－5|－|x＋3|取得最大值为8.
B级 能力提升
1．设集合{x|x－3|－|x－4|＞m}≠?，则实数m的取值范围为( ) A．m＞1 C．m＜1
B．m≥1 D．m≤1
解析：|x－3|－|x－4|≤|x－3－(x－4)|＝1.集合非空即|x－3|－|x－4|＞m有解，所以m＜1.
答案：C
2．以下三个命题：
(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； (2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
?x?2(3)若|x|＜2，|y|＞3，则?y?＜.
??3
其中正确的有________个．
解析：(1)因为|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1，所以(1)正确．(2)因为|a＋b|－2|a|≤|a＋b－2a|＝|b－a|＝|a－b|，所以(2)正确．(3)因为|x|
?x?2
＜2，|y|＞3，所以?y?＜，所以(3)正确．
??3
答案：3
3．x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，求x＋y的取值范围． 解：因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1， 当且仅当0≤x≤1时取等号，
|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当0≤y≤1时取等号， 所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2.①
又因为|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，②
所以只有当0≤x≤1，0≤y≤1时，①②两式同时成立． 所以0≤x＋y≤2.