向量数乘运算及其几何意义
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2014·淄博高一检测)下列各式计算正确的是 ( ) A.2(a+b)+c=2a+b+c B.3(a+b)+3(a-b)=0 C.
+
=2
D.a+b+3a-5b=4a-4b
【解析】选D.a+b+3a-5b=a+3a+(b-5b)=4a-4b. 【变式训练】下列命题中正确的有 ( )
①(-5)(6a)=-30a；②7(a+b)+6b=7a+13b；③若a=m-n，b=3(m-n)，则a，b共线；④(a-5b)+(a+5b)=2a，则a，b共线. A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.由向量的数乘知①②正确，③中b=3a知③正确，④中(a-5b)+(a+5b)=2a不能体现a，b的关系. 2.若
=5e1，
=-7e1，且|
|=|
|，则四边形ABCD是 ( ) B.等腰梯形 D.梯形但两腰不相等
∥
且|
|≠|
|，故四边形ABCD为梯形，而
A.平行四边形 C.菱形
【解析】选B.因为|
|=|
=5e1，=-7e1，所以
|，所以是等腰的.
=5e1，
=3e2，则
= ( )
3.(2014·六安高一检测)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若A.(5e1+3e2) C.(3e2-5e1) 【解析】选A.=(
+
=
=(
+
)
B.(5e1-3e2) D.(5e2-3e1)
)=(5e1+3e2).
=e1，
=e2，则
= ( )
【变式训练】在平行四边形ABCD中，
A.(e2-e1) C.e1-e2
=-
，
B.e2-2e1 D.2e1-e2
【解析】选A.因为所以
=
=(
)=(e2-e1).
=a，
=b，则用向量a，b表示
应为 ( )
4.设D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且A.-a-b C.-a+b
=-(
+
B.a+b
D.-a-b
=
+
【解析】选C.因为)=-(a+b)，+=+
+=b+[-(a+b)]=-a+b.
+
=m
5.(2014·上饶高一检测)已知在△ABC中，点M满足成立，则m的值为 ( ) A.2
B.3 +
=m
C.4 -
=0.若存在实数m使得
+
-
D.5 =-m
，即(m-2)
+
+
=0，
【解析】选B.因为又
+
+
，所以
=0，所以m-2=1，即m=3.
6.(2014·长沙高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则 ( ) A.k=0
B.k=1
C.k=2
D.k=
【解题指南】解答本题的关键是根据e1，e2不共线，分析是否可以找到实数λ，使m=λn. 【解析】选D.由题意m=λn，所以
解得k=.
【变式训练】a=e1+2e2，b=3e1-4e2，且e1，e2共线，则a与b( ) A.共线 C.相等
B.不共线
D.可能共线也可能不共线
【解析】选A.因为e1，e2共线，所以存在λ使得e1=λe2，故a=(λ+2)e2，b= (3λ-4)e2，故a与b共线. 二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(4a+b)-3(b-a)= . 【解析】原式=2a+b-3b+3a=5a-b. 答案：5a-b
8.(2014·益阳高一检测)设a，b是不共线的两个向量，已知D三点共线，则k的值为 .
【解题指南】解决三点共线，关键在于找到有公共点的两个向量共线. 【解析】由已知，必存在实数λ，使所以2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb， 于是答案：-1 9.若
=t
(t∈R)，O为平面上任意一点，则
和
= (用用
，
，，
表示).
表示，然后通过“移项”和数
解得
=λ
.而
=
+
=2a-b， =2a+kb，
=a+b，
=a-2b，若A，B，
【解题指南】首先利用向量减法的几何意义将乘向量的运算律用【解析】
-==(1-t)
=t=t(+t+t
--t. +t
，， )，
表示出
.
答案：(1-t)
【变式训练】如图所示，已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2
=
.
++=0，则
【解析】因为D为BC的中点，所以答案：-
三、解答题(每小题10分，共20分)
+=2，即2+2=0，所以=-.
10.(2014·商丘高一检测)如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，求证：
=(b-a).
==，记=a，=b.
【证明】因为=(-a-b)，
==
=(=-b，
-)
所以=-=(-a-b)-
=(b-a).
11.(2014·肇庆高一检测)已知O，A，M，B为平面上四点，且λ≠0).
(1)求证：A，B，M三点共线.
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围.
【解题指南】(1)先证向量共线，再证点共线.解决向量共线，关键在于找到实数λ，使b=λa. (2)结合(1)A，B，M三点共线，则【解析】(1)因为所以
-=λ=λ
+-λ
=λ-λ
+(1-λ)， ，即
，
=λ
， 有公共点A， =λ
，
，结合点B在线段AM上，确定λ的范围.
=λ
+(1-λ)
(λ∈R，λ≠1，
又λ∈R，λ≠1，λ≠0且所以A，B，M三点共线. (2)由(1)知则
，
=λ同向且|
，若点B在线段AM上， |>|
|(如图所示). 所以λ>1.
一、选择题(每小题4分，共16分) 1.下列说法中正确的是 ( ) A.λa与a的方向不是相同就是相反 B.若a，b共线，则b=λa C.若|b|=2|a|，则b=±2a D.若b=±2a，则|b|=2|a|
【解析】选D.A.错误.当λ=0时，此说法不正确； B.错误.当a=0，b≠0时，不存在实数λ使b=λa； C.错误.若|b|=2|a|，则b与a未必共线； D.正确.若b=±2a，则|b|=2|a|.
2.(2014·百色高一检测)若O为平行四边形ABCD的中心，A.
B.-= - =
C..
=4e1，
=6e2，则6e2-4e1等于 ( )
D.
【解析】选B.6e2-4e1=
3.(2014·唐山高一检测)已知实数m，n和向量a，b，下列说法：①m(a-b)=ma-mb；②(m-n)a=ma-na；③若ma=nb，则a=b；④若ma=na(a≠0)，则m=n；⑤ma和a(a≠0)的方向与m无关(m∈R).其中正确的序号为 ( ) A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
【解析】选C.若m=0，则ma=mb=0，但a，b不一定相等，故③不正确.ma(a≠0)中m>0时，ma和a同向，m<0时，ma和a反向，故⑤错.
4.在△ABC中，点D在CB的延长线上，且
=4
=r
+s
，则r-s等于
( )
A.0
B. =4- ， )，
C.
D.3
【解析】选C.因为所以又
==r
+s=(
，