2018-2019学年北京四中 高二上学期期中考试数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 号贴在答题卡上的指定位置。
位 封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
密 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
号一、单选题
不场考1．已知集合A={ Z| }，B={－2，－1），那么A B等于 A．{－2，－1，0，1} B．{－2，－1，0} C．{－2，－1} D．{－1}
订 2．已知数列{ ）的通项公式为 ，则下列各数中不是数列中的项的是 A．2 B．40 C．56 D．90
3．等差数列 的前 项和 ，若 ，则 装 号证A．8 B．10 C．12 D．14
考准4．若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是 A．ac>bc B．ab>bc C．ab 只 5．若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为 A．3 B．3或－1 C．－3 D．3或－3 卷 6．设函数 ，若 ，则 的取值范围为 A．（－1，1） B．（－1，+ ） 名姓C．（－ ，9） D．（－ ，－1） （9，+ ） 此 7．数列{ }中，“ （n∈N*）”是“数列{ }为等比数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 级班8．当x>1时，若不等式 恒成立，则实数a的取值范围是 A．（－ ，2] B．[2，+ ） C．（－ ，3] D．[3，+ ） 9．不等式 x?12x?1?0的解集为 A．????12,1??? B．?1???2,1??? C．?????,?1?2????1,??? D．??1????,?2????1,??? 10．等差数列{ }的公差d>0，前n项和为 ，则对n>2时有 A． B． C． D． 的大小不确定 11．下列不等式：① ；② ；③ ≥2，其中恒成立的个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、解答题 12．已知：等差数列{ }的公差d≠0， =1，且a2、a3、a6成等比数列 （I）求{ }的通项公式； （II）设数列{ }的前n项和为 ，求使 >35成立的n的最小值. 13．已知：关于x的不等式（mx－（m+1））（x－2）>0（m R）的解集为集合P （I）当m>0时，求集合P； （II）若{ } P，求m的取值范围. 14．已知：等比数列{ }中，公比为q，且a1=2，a4=54，等差数列{ }中，公差为d，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+ a2+ a3. （I）求数列{ }的通项公式； （II）求数列{ }的前n项和 的公式； （III）设 ， ，其中n=1，2，…，试比较 与 的大小，并证明你的结论. 15．已知：函数 ，当x∈（－3，2）时， >0，当x∈（－ ，－3） （2，+ ）时， <0 （I）求a，b的值； （II）若不等式 的解集为R，求实数c的取值范围. 16．对于数列A：a1，a2，a3，…，定义A的“差数列” A： ，… （I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式 ，写出 A的前3项； （II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得 A是等差数列； （III）若数列A：a1，a2，a3，…的差数列的差数列 （ A）的所有项都等于1，且 = =0，求 的值. 三、填空题 17．命题“ R， ”的否定为_______ 18．等差数列{ }中，19．若不等式 =_______ 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是 20．数列{ }是公比为2的等比数列，其前n项和为 。若 ，则 =_______； =_______ 21．甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为 、 ，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走（m≠n）；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，则 、 的大小关系是_______ 22．对一切实数x，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是_______ 23．数列{ }中，若 =1， ，则通项公式 =________ 24．能够说明“若等比数列{ }是递增数列，则公比q>1”是假命题的首项 的一个取值可以是_________ 25．数列{ }满足： ，若对任意正整数n，都有 （k∈N*）成立，则 的值为______ 2018-2019学年北京四中 高二上学期期中考试数学试题 数学 答 案 参考答案 1．B 【解析】 由 得 ，结合 可知 ，故选B. 点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响， 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2．B 【解析】 【分析】 分别令选项中的数等于 ，解得n值不是正整数的即为答案． 【详解】 由题意令 可得n=2为正整数，即2是{an}的项； 同理令 ,可得n不为正整数，即40不是{an}的项； 令 ，可得n=8为正整数，即56是{an}的项； 令 ，可得n=10是正整数，即90是{an}的项． 故选：B． 【点睛】 本题考查数列的通项公式的定义，注意数列通项公式中n必须是正整数． 3．C 【解析】试题分析：假设公差为 ,依题意可得 .所以 .故选C. 考点：等差数列的性质. 视频 4．D 【解析】 【分析】 由条件可得a＞0，c＜0，再利用不等式的基本性质可得结论． 【详解】 ∵a＞b＞c，且a+b+c=0， ∴a＞0，c＜0，b不确定， ∴ac 本题考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，判断 a＞0，c＜0，是解题的关键. 5．A 【解析】 【分析】 由题意列关于a，b的方程组，求得a，b后可得等差数列的公差． 【详解】 ∵1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5成等比数列，则 ，解得 或 , ∵3，a+2，b+5成等比数列,故b+5 0,即 ，∴ 舍去， 即 ∴等差数列的公差为b-a=3． 故选：A． 【点睛】 本题考查了等差数列,等比数列的性质，考查了等差数列的定义.属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】 由分段函数可得 ，运用二次函数图像和对数函数的单调性，即可得 或 到解集． 【详解】 若f（ ）＞1， 则 或 ， 即 或 或 解得 <-1或 >9． 故选：D． 【点睛】 本题考查二次不等式和对数不等式的解法，考查对数函数单调性的运用，解对数不等式将式子化为同底的对数，再由单调性列出不等式即可得到结果. 7．B 【解析】 试题分析：若数列{an}是等比数列，根据等比数列的性质得： ， 反之，若“ ”，当an=0，此式也成立，但数列{an}不是等比数列， ∴“ ”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件， 故选B． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 8．D 【解析】 试题分析：设 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 ，因此要使不等式 恒成立，则 ，所以实数 的取值范围是 ，故选D. 考点：均值不等式． 9．A 【解析】试题分析：不等式x?1?x?1??2x?1??02x?1?0等价于{2x?1?0 解得?12?x?1，所以选A. 考点：分式不等式的解法. 视频 10．A 【解析】 【分析】 用首项和公差分别表示出 和 ，由公差d>0和n>2即可判断出大小关系. 【详解】 数列{ }为等差数列，则 ， 即 ， 因为d>0, n>2，所以 > ， 故 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式. 11．C 【解析】 【分析】 逐一对每个命题进行判断即可得到结论. 【详解】 ① >0恒成立，正确； ② 可变形为 ，恒成立，正确； ③ ≥2，只有当ab>0时成立，当ab<0时不成立，错误； 综上恒成立的个数为2个， 故选：C. 【点睛】 本题考查不等式性质和基本不等式的应用. 12．（Ⅰ） ；（Ⅱ）8. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，由 得 ，从而得 ， （Ⅱ）由 ，解不等式即可.， 试题解析： （Ⅰ）设等差数列 的公差为 ， ． 因为 ， ， 成等比数列，所以 ． 即可得通项公式； 即 ， 解得 ，或 （舍去）. 所以 的通项公式为 ． （Ⅱ）因为 ， 所以 ． 依题意有 ， 解得 ． 使 成立的 的最小值为8． 13．（I）见解析；（II） 【解析】 【分析】 （I）通过比较两根大小进行分类讨论，利用二次函数的图像即可得到不等式的解集； x∈（-3，2）时，不等式（mx－（m+1））（x－2）>0恒成立，分类讨论即可求m的范围． 【详解】 （I）当m>0时，原不等式变为 当0 >2，不等式的解为x<2或 ； 当m=1时， =2，不等式的解为x<2或x>2； 当m>1时， <2，不等式的解为x< 或x>2； 综上所述，当0 ，+ ）， 当m>l时，P=（－ ， ） （2，+ ）。 （II）当m>0时，由（I）知，满足{x|－3 ，此时 <2，则P=（ ，2） 满足{x|－3 ≤ ，则 ， 综上所述： 【点睛】 本题考查集合之间关系的应用，考查一元二次不等式的解法. 14．（I） =2·3 ；（II） ；（III）当n≤18时， ；当n=19时， ； 当n≥20时， . 【解析】 【分析】 （I）先由{an}的a1，a4求出公比q，再由等比数列的通项公式即可得结果;（II）等差数列{bn}满足b1+b2+b3+b4=26进而求出d，得到bn利用等差数列的前n项和公式可得结果；（III）由已知可得b1，b4，b7，b3n-2组成以b1=2为首项，3d为公差的等差数列，而b10，b12，b14，b2n+8组成以b10=29为首项，2d为公差的等差数列，求出Pn和Qn后，作差得到关于n的函数关系式，讨论n的情况可得结果． 【详解】 （I）等比数列{ }中，a4= ，则 =27，即q=3，则 =a1 =2· ； （II）由（I）知： ∵数列{ }是等差数列，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴前n项和 ； （III）由题知： …， 组成以3d为公差的等差数列， 则 ， 同理 …， 组成以2d为公差的等差数列， ， ， 则 ， 则当n≤18时， ；当n=19时， ；当n≥20时， . 【点睛】 本题考查等差数列等比数列的通项公式，考查等差数列前n项和公式的应用. 15．（I） ；（II）c≤ 【解析】 【分析】 （I）由题意得-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两根，利用韦达定理可解得a和b；（II）不等式ax2 bx c≤0的解集为R，即 成立，将（I）中的结果代入即可解出实数c的取值范围． （Ⅲ）依题意，当出