《初等数论》-高等教育出版社
初等数论试卷
一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x为实数，?x?为x的整数部分，则( ) Ａ．?x??x??x??1； Ｂ．?x??x??x??1； Ｃ．?x??x??x??1； Ｄ．?x??x??x??1． ２．下列命题中不正确的是( )
Ａ．整数a1,a2,?,an的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数a1,a2,?,an的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a与它的绝对值有相同的约数
３．设二元一次不定方程ax?by?c（其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有一整数解
x0,y0,d??a,b?，则此方程的一切解可表为( )
at,y?daＢ．x?x0?t,y?dbＣ．x?x0?t,y?dbＤ．x?x0?t,y?dＡ．x?x0?bt,t?0,?1,?2,?; dby0?t,t?0,?1,?2,?;
day0?t,t?0,?1,?2,?;
day0?t,t?0,?1,?2,?;
dy0?４．下列各组数中不构成勾股数的是( )
Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )
Ａ．a1?b1?modm?,a2?b2?modm??a1?a2?b1?b2?modm?; Ｂ．a1?b1?modm?,a2?b2?modm??a1a2?bb12?modm?; Ｃ．a1?b1?modm??a1a2?b1a2?modm?; Ｄ．a12?b12?modm??a1?b1?modm?. ６．模１０的一个简化剩余系是( )
Ａ．0,1,2,?,9; Ｂ．1,2,3,?,10;
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Ｃ．?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4; Ｄ．1,3,7,9. ７．a?b?modm?的充分必要条件是( ) Ａ．ma?b; Ｂ．a?bm; Ｃ．ma?b; Ｄ．a?bm.
８．设f?x??x4?2x3?8x?9，同余式f?x??0?mod5?的所有解为( ) Ａ．x?1或?1; Ｂ．x?1或4; Ｃ．x?1或?1?mod5?; Ｄ．无解． 9、设f(x
anxn????a1x?a0其中ai是奇数,若x?x0?modp?为f(x)?0?modp?的一个
解，则:( )
A．????modp?一定为f(x)?0modp?,??1的一个解 B．???0modp?,??1,一定为f(x)?0modp?的一个解
C．当p不整除f(x)时,f(x)?0modp?一定有解x?x0modp?,其中x??x0?modp? D．若x?x0modp?为f(x)?0modp?的一个解,则有x??x0?modp? 10．设f(x)?anxn????a1x?a0,其中ai为奇数,an??0?modp?,n?p,则同余式 （ ） f(x)?0?modp?的解数：
A．有时大于p但不大于n; B．可超过p
C．等于p D．等于n
11．若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的 :( )
A．3 B．11 C．13 D．23 12．若雅可比符号????????????????a???1，则 ( ) ?m?A．同余式x2?a?modm?一定有解,
B．当?a,m??1时,同余式x2?a?modp?有解; C．当m?p(奇数)时,同余式x2?a?modp?有解;
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D．当a?p(奇数)时同余式,x2?a?modp?有解．
13．若同余式x2?amod2?,??3,?2,a??1有解,则解数等于( )
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )
A．1，2，4 B．1，2，4，6，12 C．1，2，3，4，6，12 D．无法确定 15． 若模m的单根存在，下列数中，m可能等于: ( ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )
A．ind32?2 B． ind32?3 C． ind35?0 D． ind310?ind32?ind35 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B． 欧拉函数??a?；
C．不超过x的质数的个数??x?； D．除数函数??a?；
18． 若x对模m的指数是ab，a>0，ab>0，则x?对模m的指数是( ) A．a B．b C．ab D．无法确定 19．f?a?，g?a?均为可乘函数，则( ) A．f?a?g?a?为可乘函数； B．
??f?a?为可乘函数 g?a?C．f?a??g?a?为可乘函数； D．f?a??g?a?为可乘函数 20．设??a?为茂陛乌斯函数，则有( )不成立
A．??1??1 B．???1??1 C．??2???1 D．??9??0 二．填空题：（每小题1分，共10分）
21． 3在45!中的最高次n＝ ____________________；
22． 多元一次不定方程：a1x1?a2x2???anxn?N，其中a1 ，a2 ，…，an，N均为整数，
n?2，有整数解的充分必要条件是___________________；
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23．有理数
a，0?a?b，?a,b??1，能表成纯循环小数的充分必要条件是b_______________________；
24． 设x?x0?modm?为一次同余式ax?b?modm?，a?0?modm?的一个解，则它的所有解为_________________________；
25． 威尔生（wilson）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号??503??=________________________________________； 1013??27． 若a,p??1，则a是模p的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设??1，g为模p?的一个原根，则模2p?的一个原根为_____________； 30． ??48??_________________________________。 三．简答题：（5分／题×4题＝20分）
31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。
32．“若a,m??1，x通过模m的简化剩余系，则ax也通过模m的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。
33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。
?k?1?234．设a?p1为a的标准分解式，记S?a?为a的正因数的和，??a?为a的正因数的p2?pk??个数，则S?a?＝？ ??a?＝？ 为什么？ 四．计算题。（7分／题×4题＝28分）
35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。
?x?1?mod5??36． 解同余方程组?y?3?mod6?
?z?2?mod7??37．解同余式x2≡11(mod125) 38．求模13的所有原根。 五、证明题：（7分/题×2题=14分）
39、试证： x2?2y2?z2，（x，y）=1 y是偶数的整数解可写成：
x??(a2?2b2) y?2ab z?a2?2b2
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这里a?b?0，?a,b??1，并且40、设a为正整数，试证：
一为奇数，一为偶数。
??(d)???()?a
d|ad|aad其中
?d|a表示展布在a的一切正因数上的和式。
六、应用题：（8分）
41、求30！中末尾0的个数。
参考答案
一．单项选择：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。
二．填空题：21．21；22．?a1,a2,?,an?|N；23．?b,10??1；24．x0?t25．?p?1?！+1?0?modp?,p为素数；26．1； 27．ap?12m,t?0,?1,?2,?；?a,m??1?modp?；28．????m??；29．g与g?p?中的单数；30．16
2三．简答题：31．答：命题正确。? ?2m?1??1????2m?1??1?????2m?1??1??
?2m??2m?2??4m?m?1? 而m?m?1?必为2的倍数。
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32．正确．证明见教材P47。
?p?1?33．在摸p的简化剩余系中与1,2,?,??同余的数是数p的平方剩余，
?2?222p?17,1?p?1??8，12?1,22?4,32?9,42?16，52?8,62?2,72?15,82?13 2故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。 34．s?a????1?p?pii?1k2i???pi?i?p?i?1?1 ??p?1i?1ik ??a????1?1???2?1????k?1?