北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项）
（1）已知全集U?R，集合A?{x|?1?x?2}，B?{x|x??3，或x?4}，
那么A(eUB)?
（A）{x|?1?x?4} （B）{x|?3?x?2} （C）{x|?1?x?2} （D）{x|?3?x?4} （2）已知复数
（A）?2 （C）2
a?i为纯虚数，那么实数a? 2?i
（B）? （D）
1 2
1 21，则实数m? 6（3）在区间[0,2]上随机取一个实数x，若事件“3x?m?0”发生的概率为
（A）1
（B）
1 21 6（C）
1 3 （D）
（4）已知点M的极坐标为(5,2?)，那么将点M的极坐标化成直角坐标为 3（A）(?535535,?) （B）(?,) 2222（C）(,553553) （D）(?,)
22222（5）“x?1”是“log1x?0”的
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（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物
馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有
242（A）A6种 （B）A6?A5?54种
242（C）C6种 （D）C6?A5?54种
（7）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为 （A）
1 6（B）2 63 61 2正（主）视图 侧（左）视图 （C）（D）
2 （8）已知函数f(x)?2mx?2(4?m)x?1，g(x)?mx俯视图，若对于任意实数x，f(x)与g(x)的值
至少有一个为正数，则实数m的取值范围是
（A）(0,2) （B）(0,8) （C）(2,8) （D）(??,0)
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第二部分（非选择题 共110分）
二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2?8，S4?12，则{an}的公差d? ． （10）曲线y?sinx(0?x???与x轴围成的封闭区域的面积为 ．
AB?2AC?8，BD?CD?A?60，（11）如图，在△ABC中，过C作△ABC外接圆的切线CD，
于D，BD与外接圆交于点E，则DE? ．
DCAEOBx2y2（12）已知F1,F2分别为椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直
ab于x轴．若|F1F2|?2|PF2|，则该椭圆的离心率为 ．
（13）已知函数f(x)是R上的减函数，且y?f(x?2)的图象关于点(2,0)成中心对称．若u,v满
足不等式组??f(u)?f(v?1)?0,22则u?v的最小值为 ．
?f(u?v?1)?0,（14）已知x?R，定义：A(x)表示不小于x的最小整数．如A(3)?2，A(?1.2)??1．
若A(2x+1)?3，则x的取值范围是 ；
若x?0且A(2x?A(x))?5，则x的取值范围是 ．
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三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题共13分）
在△ABC中，b?2，cosC?（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sin2A值．
（16）（本小题共13分）
某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是：[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]．规定90分及其以上为合格.
（Ⅰ）求图中a的值
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；
（Ⅲ）若三个人参加交通法规考试，用X表示这三人中考试合格的人数，求X的分布列与数学期望.
（17）（本小题共14分）
如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC，AB?BC，AB?PA?BC?2.D,E分别为AB,AC的中点，过DE的平面与PB,PC相交于点M,N（M与P,B不重合，N与P,C不重合）.
（Ⅰ）求证：MN∥BC；
（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小； （Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值
求MC的长.
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频率组距37，△ABC的面积为． 440.07 0.06 a 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数
OPNM314时， 14ADEBC
（18）（本小题共13分）
已知函数f(x)?x?a?lnx，a?R. x（Ⅰ）若f(x)在x?1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f(x)在区间(1,2)上单调递增, 求a的取值范围； （Ⅲ）讨论函数g(x)?f?(x)?x的零点个数.
（19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线x??1的距离相等． （Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设动直线l:y?kx?b与曲线C相切于点P，与直线x??1相交于点Q．
证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．
（20）（本小题共14分）
在无穷数列{an}中，a1?1，对于任意n?N，都有an?N?，且an?an?1．设集合
?Am?{n|an?m,m?N?}，将集合Am中的元素的最大值记为bm，即bm是数列{an}中满足不等式an?m的所有项的项数的最大值，我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列．
例如：数列{an}是1,3,4,(Ⅰ)设数列{an}是1,4,5,(Ⅱ)设an?3n?1，它的伴随数列{bn}是1,1,2,3,．
，请写出{an}的伴随数列{bn}的前5项；
(n?N*)，求数列{an}的伴随数列{bn}的前20项和；
（Ⅲ）设an?3n?2(n?N*)，求数列{an}的伴随数列{bn}前n项和Sn．
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