第一章 微积分、线性代数的基础知识及其在Matlab中的实现
1．1 建模中常用微积分基础知识在Matlab中的实现
在数摸问题的计算中，经常要用到极限、导数、微分和积分等基本运算。利用数学软件Matlab可以使复杂的微积分运算变得很容易。本节介绍微积分的基本运算在计算机上如何实现，包括：微分、积分、极限、级数求和、方程求根以及Taylor展开等功能的实现方法。
下面是MATLAB中的基本符号运算函数（有关符号运算请参考附录A）： 1. x=sym(‘x’)
功能：创建一个符号变量x 2. syms x y z
功能：创建多个符号变量 x , y , z 3. r=collect(S,v)
功能：合并同类项，S是符号表达式,v是变量或表达式，R是合并同类项后的结果。 4. factor(S)
功能：符号计算的因式分解，X是待分解的符号多项式 5. expand(S)
功能：对符号多项式或函数S进行展开 6. r=simple(S) 或 r=simplify(S) 功能：对符号表达式S进行化简 7. subs(S,old,new)
功能：把符号变量中的变量old 用 new 代替，new 可以是一个符号，也可以是具体的数 8. vpa(S)
功能：对符号表达式S计算其任意精度的数值 9. eval(S)
功能：计算符号表达式（或字符串）S
1．1．1 导数、极值和积分、Talyor公式及在Matlab中的实现
一、极限运算
在MATLAB中，计算极限采用下面的命令：
命令 功能 limit(f,x,a) 计算limx?af(x) f(x)
x?a? limit(f,x,inf) 计算limx?? limit(f,x,a,’right’) 计算单侧极限 limit(f,x,a,’left’) 计算单侧极限
limf(x)
x?a?limf(x)
注意：在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab的默认状态是求右极限
ex?1例1 求极限lim(1?4x)与极限lim
x?0x?0x1x解 Matlab命令为 syms x;
y1=(1+4*x)^(1/x); y2=(exp(x)-1)/x; limit(y1,x,0) ans= exp(4) limit(y2,x,0) ans= 1
例2 求极限lim?(x?0x?2)
?1x解 syms x; y=sqrt(x)-2^(-1/x); limit(y,x,0,’right’) ans= 0
二、求导运算
导数是函数增量?y与自变量增量?x之比的极限（?x?0），即在Matlab中求函数的导数及其他一些类似计算均由 diff 命令来完成。
1．一元函数的求导 命令形式1： diff(f)
功能：求函数f的一阶导数，其中f为符号函数。 命令形式2： diff(f,n)
功能：求函数f的n阶导数，其中f为符号函数。 例3 求函数
f?(x)?f(x??x)?f(x)。
?x3x3?5x?1的二阶导数
解 Matlab的命令为 syms x ; f= 3*x^3+5*x+1 ; diff(f,2) ; ans= 18*x 例4 设
y?3x2?2x?1，求y'|x?1
解 syms x ; y=3*x^2-2*x+1 ; B=diff(y) , x=1 ; eval(B) 运行结果为 B = 6*x – 2 ans = 4
2．多元函数的偏导数 将函数z数，记为
?f(x,y)中的变量y看成常量而对变量x的导数称为二元函数f(x,y)对变量x的偏导
fx(x,y)。若把x当作常量而对y求导的结果称为函数对y的偏导数，记为fy(x,y)。求偏
导的方法和一元函数的求导方法一样，只要把另一个变量看成常量即可。
命令形式1： diff(f,xi)
功能： 多函数f 对变量xi的一阶偏导。 命令形式2： diff(f,xi,n)
功能：多函数f 对变量xi的n阶偏导。 例5 求z?x2sin2y关于x的偏导数
解 syms x y;
z= x^2*sin(2*y); B=diff(z,’x’); 运行结果为 B=2*x*sin(2*y)
3. 全微分、参数方程求导及隐函数求导 (1) 若函数z?f(x,y)在某点(x0,y0)的两个偏导数存在且连续，则函数在该点的全微分为 dz?fx(x0,y0)dx?fy(x0,y0)dy
Matlab中求函数全微分的命令为： diff(z,x)+diff(z,y) (2) 对参数方程??x?x(t)dydydt?所确定的函数y?f(x)，根据公式，连续两次利用diff(f)dxdxdty?y(t)?命令就可以求出结果。
(3) 隐函数求导
方程F(x,y)?0所确定的隐函数
y?y(x)，则其导数
Fdy??xdxFy；方程F(x,y,z)?0确定的
F?z??x隐函数z?z(x,y)，其导数为?xFz的偏导再相除就可得到隐函数的导数。
三、积分运算
1．一元函数的不定积分 命令形式1： int(f)
Fy?z，???yFz。在Matlab中按照上述公式，分别求出函数
功能： 求函数f对默认变量的不定积分，用于函数中只有一个变量的情况。 命令形式2：int(f,v)
功能：求符号函数f对变量v的不定积分。 例6 计算
1?sin2xcos2xdx
解 Matlab命令为 syms x ;
y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2) ; int(y) ans =
1/(sin(x)*cos(x))?2*cos(x)/sin(x)
pretty(int(y)) %把int(y)化简为常用的数学形式的表达式 结果为
12cosx?
sinx()cosx()sinx例7 求
x?1?z2dz
解 Matlab的命令为
syms x z ; B=int(x/(1+z^2),z) ; B=x*atan(z)
2．一元函数的定积分 命令形式： int(f,x,a,b)
功能：用微积分基本公式计算定积分
?baf(x)dx
1例8 求?1(1?x?)2dx
x221解 Matlab的命令为 syms x ;
t=1+x-1/x; y=exp(x+1/x) ; t=t*y ; int(f,x,1/2,2) ; ans = 3/2*exp(5/2)
3. 多重积分运算
命令 功能 int(int(f,y),x) 计算不定积分
?dx?f(x,y)dy
bdcint(int(f,y,c,d),x,a,b) 计算定积分注意：对于三重积分的运算和二重积分的形式一致。 例9 计算
?dx?af(x,y)dy
A??1x?10x?(x2?y2?1)dxdy
解 Matlab的命令为 syms x y
A=int(int(x^2+y^2+1,y,x,x+1),x,0,1) %求二重积分 A=5/2
四、函数的Taylor展开 命令形式1：taylor(f)
功能：将函数f展开成默认变量的6阶麦克劳林公式 命令形式2： taylor(f, n)
功能：将函数f展开成默认变量的n阶麦克劳林公式 命令形式3： taylor(f, n, v, a)
功能： 将函数f(v)在v=a处展开n阶泰勒公式
例10 将函数
f(x)?xarctanx?ln1?x2展开为x的6阶麦克劳林公式。
解 Matlab命令为 syms x ;
f=x*atan(x) – log(sqrt(1+x^2)); taylor(f)
ans = 1/2*x^2-1/12*x^4 例11 将函数
f(x)?1x2展开为关于(x?2)的最高次为4的幂级数。
解 Matlab 命令为 syms x ; f = 1/x^2 ;
taylor(f, 4, x, 2) ; pretty(taylor(f, 4, x, 2)) ;
13134?(x?2)?(x?2)2?(x?2)3
41681．1．2 数值积分法及其在Matlab中的实现
用定积分的符号解法求定积分有时会失效，此时，可以用数值方法来计算定积分的值。Matlab提供了如下一些计算定积分值的数值方法。
一、用数值方法计算定积分 （1） 复合梯形公式
复合梯形公式用小梯形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值。 命令形式：trapz(x,y)
功能：用复合梯形公式计算定积分，变量x是积分变量在被积区间上的分点向量，y为被积函数在x处对应的函数值向量。
（2）复合辛普生公式
本方法用抛物线代替小曲边梯形的曲边计算小面积，然后求和以获得定积分的近试值。 命令形式1：quad('fun',a,b,tol,trace) 命令形式2：quad8('fun',a,b,tol,trace) 式中
fun式被积函数表达式字符串或者是M函数文件名，a,b积分的下限与上限，tol代表精度，
可以缺省；缺省时，tol?0.001。trace?1 时用图形展示积分过程，trace?0时无图形，默认值为0。命令形式2比命令形式1`精度高。
例11 用复合梯形公式和复合辛普生公式求解
命令为Matlab
5?2lnxdx的积分值。 2xsyms x ; x=2:0.1:5 ;
y?log(x)./(x.2);
t?trapz(x,y);ff = inline(‘log(x)./(x.^2)’,’x’) ;