泛函分析中的概念和命题
赋范空间，算子，泛函
定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个
范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach空间. 定理：M是赋范线性空间?X,||?||?的一个真闭线性子空间，则???0,?y?X,||y||?1,使得： ||y?x||?1??,?x?M
定理：设X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，则
1.f?X*?N?f??{x?X|f?x??0}是X的闭线性子空间 2.非零线性泛函f?x?是不连续的?N?f?在X中稠密
定理：X,Y是赋范空间，X?{?},则Y是Banach空间?B?X,Y?是Banach空间
X,Y,Z是赋范空间，A?B?X,Y?,B??Y,Z?,则AB?B?X,Z?,且||AB||?||A||||B|| 可分B空间：LP?0,1?,lp?1?p???,c,c0,C?a,b?可分 L?0，1?,l不可分
??Hahn-Banach泛函延拓定理
设X为线性空间，p是定义在X上的实值函数，若：
(1)p?x?y??p?x??p?y?,??x,y?X?,则称p为次可加泛函 (2)p??x???p?x?,????0,?x?X?，则称p为正齐性泛函 (3) p??x??|?|p?x?,????K,?x?X?，则称p为对称泛函
实Hahn-Banach泛函定理: 设X是实线性空间，p?x?是定义在X上的次可加正齐性泛函，
X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的实线性泛函且满足f0?x??p?x???x?X0?，则必存
在一个定义在X上的实线性泛函f，且满足：
1．f0?x??p?x???x?X? 2. f?x??f0?x???x?X0?
1
复Hahn-Banach泛函定理: 设X是复线性空间，p?x?是定义在X上的次可加对称泛函，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的线性泛函且满足|f0?x?|?p?x???x?X0?，则必存在一个定义在X上的线性泛函f，且满足：
1．|f0?x?|?p?x???x?X? 2. f?x??f0?x???x?X0?
定理: 设X是线性空间， 若X?{?}， 则在X上必存在非零线性泛函。
Hahn-Banach延拓定理: 设X是赋范线性空间， X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X上的有界线性泛函f，满足：
1．||f||?||f0||X0 2. f?x??f0?x???x?X0?
定理：设X是赋范线性空间，M是X的线性子空间，x0?X,??x0,M??d?0,则必有
f?X*，满足：
(1)f?x??0,?x?M；(2)f?x0??d；(3)||f||?1
定理：设X是赋范空间，?x0?X?{?},必?f?X*,使f?x0??||x0||,||f||?1 定理：设X是赋范空间，?x0?X,必有||x0||?sup{|f(x0)|：f?X*,||f||?1}
凸集分离定理
极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间
超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形 承托超平面：凸集E在点x0的承托超平面L是指E在L的一侧，且与L有公共点x0
M是X的含有?点的凸子集，在X上作一个 Minkowski泛函：设X是线性空间，取值于[0,??]的函数： p?x??inf{??0|与M对应，称函数p为M的Minkowski泛函
定理：L是赋范空间X的(闭)超平面?存在X上的非零(连续)线性泛函f及
x??M},??x?X?
2
r?R,使L?HrHrf,其中f?{x?X|f?x??r}
Hahn-Banach定理的几何形式: 设X是赋范空间，E是X的具有内点的真凸子集，又设
x0?X?E,则必存在一个超平面分离E与x0
定理：设X是赋范空间，E和F是X的两个非空凸集，则 E具有内点，且E0?F??；?s?R及f?X*?{?},使得超平面HsE和F f分离Ascoli定理：设X是赋范空间，E是X的真闭凸子集，则?x0?X?E,?f?X*,??R适合f?x????f?x0??，?x?E?
Mazur定理：设X是赋范空间，E是X的一个有内点的凸子集，F是X的一个线性流形，又设E0?F??,则存在一个包含F的闭超平面L，使E在L的一侧
定理：设X是赋范空间，E是X的一个含有内点的闭凸集，则通过E的每个边界点都可以作出E的一个承托超平面
基本定理
定理：设X,Y是Banach空间，T?B?X,Y?是满射，则???0,使得TB??,1??O??,?? 开映射定理：设X,Y是Banach空间，T?B?X,Y?是满射，则T是开映射 Banach逆算子定理：设X,Y是Banach空间，T?B?X,Y?是双射，则T?1?B?X,Y?
等价范数定理：设X是线性空间，||?||1和||?||2是X上的两个范数，若X关于这两个范数都成为Banach空间，而且||?||2强于||?||1，则||?||1也强于||?||2，从而||?||1和||?||2等价
闭算子：设X,Y是赋范空间，若T的图像{?x,Tx?|x?D?T?}是T是D?T??X到Y的映射，赋范线性空间X?Y中的闭集，则称T是闭映射或闭算子
闭算子判别定理：设X,Y是赋范空间，T是D?T??X到Y的映射，则T是闭映射?
?{xn}?D?T?,若xn?x0?X,Txn?y0?Y,则x0?D?T?，且y0?Tx0
空间，T是D?T??X到Y的线性映射，而且是闭算子，若 闭图像定理：设X,Y是BanachD?T?是X的闭线性子空间，则T是连续的
空间，T是X到Y的线性算子，则T连续?T是闭算子 定理：设X,Y是BanachY是赋范空间，T??B?X,Y?,???.如果?x?X，都有 共鸣定理：设X是Banach空间，
3
sup||T?x||???,则{||T?||：???}有界
???自反空间与共轭算子
除声明外下面的X,Y都是一般的赋范线性空间
共轭空间：(LP)*?Lq,(lp)*?lq,，c*?(c0)*?l1,?C?a,b???V0?a,b?，1?p??,p,q共轭
*??伴随算子:T?B?X,Y?，f*?x??f?Tx?，T*f?f*，T*?BY*,X*，||T*||?||T||
1.T?B?X?,记T**?T*,若将X看成X**的子空间,则T**是T的延拓且||T**||?||T|| 2.T?B?X,Y?，则T有有界逆?T*有有界逆，且此时(T?1)*?T*3.映射A?A*是由B?X,Y?到BY*,X*的保范线性算子 4.若A?B?X,Y?,B?B?Y,Z?,则?AB??B*A*
*????*???1
??定理：若X*可分，则X可分。(?L1，l1不自反)；X是Banach空间，X*自反?X自反 自反空间的闭线性子空间是自反空间 自然嵌入映射?：x?x是赋范空间X到X****的保范的有界线性算子，即：||x**||?||x||
Riesz表示定理：设X是局部紧空间，f?Cc?X?时，||f||?sup{|f?x?|：x?X},则
(1) 若?是Cc?X?上的正线性泛函，则存在X上一个正则Borel测度u，使得对任f?Cc?X?都有??f???fdu
*(2) 若??Cc?X?，则存在X上一个广义正则Borel测度u，使??f???fdu
(3) 若Cc?X?是X上具有紧支集的复连续函数空间，则对Cc?X?上任一有界复线性泛函?，
存在复正则Borel测度u，使??f???fdu
弱收敛和弱列紧
基本概念：弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的*弱收敛； 弱列紧；局部弱列紧；*弱列紧；局部*弱列紧
定理：设X,Y是Banach 空间，{Tn}?B?X,Y?强收敛于某个T?B?X,Y?当且仅当： 1.{||Tn||}有界，即有M?0，使||Tn||?M?n?1,2,3,?? 2.存在X中的稠集D，使?x?D，{Tnx}收敛
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定理：设X是Banach 空间，{fn}?X*,则{fn}*弱收敛于某个f?X*当且仅当： 1.{||fn||}有界；
2.存在X中的稠集D，使?x?D，{fn?x?}收敛
定理：设X是赋范空间，则 {xn}?X弱收敛于某个x?X当且仅当： 1.{||xn||}有界；
2.存在X*中的稠集D，使?f?D，有{f?xn?}收敛于f?x?
定理：设X是赋范空间，{xn}?X弱收敛于某个x?X,则存在由{xn}的凸组合构成的点列使其
强收敛到x，且||x||?lim||xn||
n??定理：可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的
Hilbert Space
基本概念：除声明外下面所涉及的空间都是Real or Complex Hilbert Space X
内积：一个(数域K上)线性空间X上的内积指的是共轭双线性泛函：X?X?K，它满足正定性和共轭对称性。内积空间：定义了内积的线性空间。定义了内积的复(实)线性空间称为复(实)内积空间。内积导出的范数满足平行四边形公式。内积(按内积导出的范数)是X?X上的连续函数.若由内积导出的范数是完备的，这样的内积空间称为Hilbert空间
定理：设?X,??,???是内积空间，||?||是由内积??,??导出的范数，则||?||与??,??满足如下关系：
1||x?y||2?||x?y||2,?x,y?X 412222当X是复线性空间时，?x,y??||x?y||?||x?y||?i||x?iy||?i||x?iy||,?x,y?X
41极化恒等式：?Ax,y???A?x?y??A?x?y??iA?x?iy??iA?x?iy??，A?x???Ax,x?
4当X是实线性空间时，?x,y??????定理：为了在赋范线性空间?X,||?||?中引入内积??,??，使得由??,??导出的范数就是||?||，当且仅当||?||满足平行四边形公式：||x?y||?||x?y||?2||x||?||y||22?22?
定理：设?X,??,???是内积空间，M是X的非空子集，x,y,yn?n?1,2,???X，则 1.x?y?||x?y||?||x||?||y|| 2.x?yn?n?1,2,??,yn?y?x?y
2223.x?M?x?spanM 4.M?M?5.M在X中稠?M
???,M???M
??{?} 6.M?是X的闭线性子空间，且M??spanM
5
???