考点12 函数模型及其应用
1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) p＋qA.
2C.pq 【答案】D
【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝（p＋1）（q＋1）－1，故选D.
2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH])的乘积等于常数10
－
－14
＋
（p＋1）（q＋1）－1B．
2D．（p＋1）（q＋1）－1
.已知pH值的定义为pH＝－lg [H]，健康人体
＋
＋
[H]
血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的－可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg
[OH]3≈0.48)( ) 1A. 21C．
6【答案】C
【解析】∵[H]·[OH]＝10∴10
0.7
－7.45
＋
－
－14
1
B．
31D．
10
[H]＋2＋
，∴1014，∵7.35<－lg [H]<7.45， －＝[H]×
[OH]
[H]11＋－－14<[H]2<100.7，100.9＝0.9>，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴－＝10·1010[OH]
＋
＋
＋
<[H]<10
－0.7
＋－7.35
，∴10
－0.9
10>3>2，10
111[H]1
<<，∴<<.故选C. 3210[OH－]3
3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A．① C．①③
B．①② D．①②③
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【答案】A
1
【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水
2口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.
4、某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekxb(e＝2.718…为自然对数的
＋
底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A．16小时 C．24小时 【答案】C
【解析】由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192. 又∵48＝e22kb＝e22k
＋
＋ln 192
B．20小时 D．28小时
＝192e22k＝192(e11k)2，
48?11
2＝??2＝.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192 e33k＝192(e11k)3＝∴e＝??192??4?2
11k
11
?1?＝24(小时)． 192×?2?
5、某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和xa
Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝ x(a>0)．若不管资金如何投入，经销这两种
42商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( ) A.5 C．2 【答案】A
xa
【解析】设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，总利润y＝P＋Q＝＋·20－x.令y≥5，
42xax11
则＋·20－x≥5对0≤x≤20恒成立．∴a20－x≥10－，∴a≥20－x对0≤x<20恒成立．∵f(x)＝20－x42222x
的最大值为5，且x＝20时，a20－x≥10－也成立，∴amin＝5.故选A.
2
??C，0＜x≤A，
6、某市家庭煤气的使用量x(m)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝?已知某家庭2018年
?C＋B（x－A），x＞A.?
3
3
B．5 D．2
前三个月的煤气费如表：
月份 一月份 二月份 用气量 4 m3 25 m3 煤气费 4元 14元 第 2 页 共 9 页
三月份 35 m3 19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为( ) A．11.5元 C．10.5元 【答案】A
1
【解析】根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，
24，0＜x≤5，??1
C＝4，所以f(x)＝?1所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5.
24＋（x－5），x＞5，??2
7、某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 【答案】A
【解析】设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业
222
额y2＝m×(1＋x)4＝m（m＋8a），因为y21－y2＝(m＋4a)－m(m＋8a)＝16a＞0，所以y1＞y2，故本年5月
B．11元 D．10元
份甲食堂的营业额较高．
8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据
根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟． 【答案】3.75
【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别0.7＝9a＋3b＋c，a＝－0.2，????
代入解析式，得?0.8＝16a＋4b＋c，解得?b＝1.5，所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，
???0.5＝25a＋5b＋c，?c＝－2.所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．
9、某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定
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价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件________元． 【答案】190 元
【解析】设售价提高x元，则依题意y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500. 故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．
10、现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________． 【答案】(100,400)
200×7%＋x·4%【解析】设y＝，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100
200＋x＜x＜400.
11、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 【答案】9
【解析】由已知可得
8＋1，0 x－＋1，3 ?x－＋1，x>8，?8＋2.15×5＋9，0 ＝?2.15x－2.55，3＜x≤8，??2.85x－3.05，x>8. 由y＝22.6解得x＝9. 12、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含1 量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 3【答案】8 12?2?n≤1，1－?n≤0.1%，【解析】设过滤n次才能达到市场要求，则2%?即所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，?3??3?203所以n＝8. 13、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时． － 【答案】10 【解析】由题设可得(1－0.1)P0＝P0e kt －5k ，即0.9＝e －5k ，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P0＝P0ekt，即0.81＝e － － ，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10，应填10. 14、渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)， 第 4 页 共 9 页 则鱼群年增长量的最大值是________． km 【答案】 4 x 【解析】由题意，空闲率为1－， mx 1－?，定义域为(0，m)， ∴y＝kx??m?xmkkm1－?＝－?x－?2＋， y＝kx?2??m?m?4 mkm∵x∈(0，m)，k＞0，∴当x＝时，ymax＝. 24 15、拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元． 【答案】4.24 【解析】∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 16、某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克) 随时间x(天)变化的函数图象，如图所示________千克． 190 【答案】 9 ，则此人在12月26日大约卖出了西红柿 ??10＝k＋b， 【解析】 前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得? ?30＝10k＋b，? 20702070190 解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝. 99999 17、候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v(单Q 位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候 10其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a，b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ ??a＝－1， 【答案】(1) ? (2) 270 ?b＝1.? 30 【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，则a＋blog3＝ 100，即a＋b＝0； 第 5 页 共 9 页